{"id":2023,"date":"2023-03-13T10:43:02","date_gmt":"2023-03-13T13:43:02","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2023"},"modified":"2023-03-15T09:15:35","modified_gmt":"2023-03-15T12:15:35","slug":"bases-e-dimensao","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/bases-e-dimensao\/","title":{"rendered":"Bases e dimens\u00e3o"},"content":{"rendered":"
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Nesta p\u00e1gina, n\u00e3o distinguimos entre cardinalidades infinitas.<\/p>\n

Assuma que $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial e sejam $X,Y\\subseteq V$ tais que $X$ \u00e9 L.I. e $Y$ \u00e9 gerador. Ent\u00e3o $|X|\\leq |Y|$.<\/div>\n
N\u00e3o h\u00e1 nada para provar quando $Y$ \u00e9 infinito, ent\u00e3o assuma que $Y$ \u00e9 finito. Seja $Y=\\{y_1,\\ldots,y_k\\}$. Assuma com o objetivo de achar uma contradi\u00e7\u00e3o que $|X|>|Y|=k$.<\/p>\n

Assuma que $x_1\\in X$. Como $X$ \u00e9 L.I., $x\\neq 0$. Como $Y$ \u00e9 conjunto gerador,
\n$$
\nx_1=\\sum_{i=1}^k \\alpha_iy_i\\quad\\mbox{com}\\quad \\alpha_i\\in\\F.
\n$$
\nComo $x_1\\neq 0$, pelo menos um $\\alpha_i$ \u00e9 diferente de zero e podemos assumir sem perder generalidade que $\\alpha_1\\neq 0$. Neste caso,
\n$$
\ny_1=(1\/\\alpha_1)x_1-\\sum_{i=2}^n(\\alpha_i\/\\alpha_1) y_i.
\n$$
\nPortanto, $y_1$ \u00e9 combina\u00e7\u00e3o linear de $x_1,y_2,\\ldots,y_k$. Se $v\\in V$ \u00e9 arbitr\u00e1rio, ent\u00e3o $v$ pode ser escrito como combina\u00e7\u00e3o linear dos $y_i$ e assim
\n$$
\nv=\\sum_{i=1}^n\\beta_iy_i
\n=
\n\\beta_1\\left((1\/\\alpha_1)x_1-\\sum_{i=2}^n(\\alpha_i\/\\alpha_1) y_i\\right)+\\sum_{i=2}^n\\beta_i y_i
\n$$
\nOu seja, $v$ tamb\u00e9m \u00e9 combina\u00e7\u00e3o linear de $x_1,y_2,\\ldots,y_k$ Como $v$ foi arbitr\u00e1rio, o conjunto $Y_1=\\{x_1,y_2,\\ldots,y_k\\$ \u00e9 um conjunto gerador.<\/p>\n

Escolha agora $x_2\\in X\\setminus\\{x_1\\}$. Como $Y_1$ \u00e9 sistema gerador, podemos escrever
\n$$
\nx_2=\\alpha_1 x_1+\\sum_{i=2}^n\\alpha_i y_i.
\n$$
\n(Aqui os coeficientes $\\alpha_i$ s\u00e3o diferentes dos coeficientes na linha em cima.) Como $x_2\\neq 0$, temos que algum coeficiente $\\alpha_i$ \u00e9 n\u00e3o nulo. Al\u00e9m disso, como $x_1,x_2$ s\u00e3o L.I., podemos escolher $i\\geq 2$. Assuma sem perder generalidade que $\\alpha_2\\neq 0$. Neste caso, pode-se escrever que
\n$$
\ny_2=(1\/\\alpha_2)x_2-(\\alpha_1\/\\alpha_2)x_1-\\sum_{i=3}^n(\\alpha_i\/\\alpha_2)y_i.
\n$$
\nUsando o argumento em cima, obtemos que $Y_2=\\{x_1,x_2,y_3,\\ldots,y_k\\}$ \u00e9 conjunto gerador.<\/p>\n

Continuando desse jeito, obtemos que $Y_k=\\{x_1,\\ldots,x_k\\}$ \u00e9 um conjunto gerador de $V$. Mas como $|X|>k$, temos que existe $x\\in X\\setminus\\{x_1,\\ldots,x_k\\}$ e podemos escrever
\n$$
\nx=\\gamma_1x_1+\\cdots+\\gamma_k x_k.
\n$$
\nMas isso d\u00e1
\n$$
\n0=x-\\gamma_1x_1-\\cdots-\\gamma_kx_k
\n$$
\no que \u00e9 imposs\u00edvel, pois $X$ \u00e9 L.I. Obtivemos que a suposi\u00e7\u00e3o $|X|>|Y|=k$ nos levou a um absurdo, logo a \u00fanica alternativa sensata \u00e9 que $|X|\\leq |Y|$.<\/p>\n<\/div>\n

Se $B_1$ e $B_2$ s\u00e3o bases do mesmo espa\u00e7o vetorial, ent\u00e3o $|B_1|=|B_2|$.<\/div>\n
Como $B_1$ \u00e9 L.I. e $B_2$ \u00e9 gerador, temos que $|B_1|\\leq |B_2|$. Trocando $B_1$ e $B_2$, temos que $|B_2|\\leq |B_1|$. Logo, $|B_1|=|B_2|$.<\/div>\n
Seja $V$ um espa\u00e7o vetorial n\u00e3o nulo e seja $B$ uma base de $V$. A dimens\u00e3o de $V$ est\u00e1 definida como a cardinalidade $|B|$ e est\u00e1 denotada $\\dim V$. Quando $V=0$, $\\dim V=0$.<\/div>\n

Pelo corol\u00e1rio em cima, a dimens\u00e3o de $V$ n\u00e3o depende da base escolhida.<\/p>\n

\nNos seguintes exemplos, $\\F$ \u00e9 um corpo arbitr\u00e1rio.<\/p>\n