{"id":1920,"date":"2022-10-05T21:49:56","date_gmt":"2022-10-06T00:49:56","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1920"},"modified":"2022-10-06T10:09:24","modified_gmt":"2022-10-06T13:09:24","slug":"congruencias-com-incognitas","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/congruencias-com-incognitas\/","title":{"rendered":"Congru\u00eancias com inc\u00f3gnitas"},"content":{"rendered":"
\n
\nSeja $x$ uma inc\u00f3gnita e considere a congru\u00eancia
\n\\[
\nx\\equiv 4\\pmod 6.
\n\\]
\nAs solu\u00e7\u00f5es desta congru\u00eancia s\u00e3o n\u00fameros inteiros que s\u00e3o congruentes com $4$ m\u00f3dulo $6$. Claramente $x=4$ \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o particular desta congru\u00eancia e o conjunto das solu\u00e7\u00f5es \u00e9
\n\\[
\n\\{6k+4\\mid k\\in\\Z\\}.
\n\\]<\/div>\n
\nConsidere agora o seguinte exemplo um pouco mais complicado:
\n\\[
\n3x\\equiv 4\\pmod {10}.
\n\\]
\nNote que $3$ \u00e9 invert\u00edvel m\u00f3dulo $10$ e o seu inverso \u00e9 $7$, pois $3\\cdot 7=21\\equiv 1\\pmod {10}$. Multiplicando os dois lados desta congru\u00eancia por $7$, obtemos que
\n\\[
\nx\\equiv 21x=7\\cdot 3x=7\\cdot 4=28\\equiv 8\\pmod{10}.
\n\\]
\nLogo, a congru\u00eancia neste exemplo \u00e9 equivalente \u00e0 congru\u00eancia
\n\\[
\nx\\equiv 8\\pmod{10}.
\n\\]
\nAs solu\u00e7\u00f5es desta \u00faltima congru\u00eancia, e tamb\u00e9m da congru\u00eancia anterior, s\u00e3o n\u00fameros no conjunto
\n\\[
\n\\{10k+8\\mid k\\in\\Z\\}.
\n\\]<\/div>\n
\nConsidere a congru\u00eancia
\n\\[
\n3x\\equiv 5\\pmod 6.
\n\\]
\nNote que uma solu\u00e7\u00e3o $x\\in\\Z$ desta congru\u00eancia satisfaz a equa\u00e7\u00e3o diofantina $3x-5=6k$ com algum $k\\in\\Z$, ou seja
\n\\[
\n3x-6k=5.
\n\\]
\nMas, como $\\mdc 36\\nmid 5$, esta equa\u00e7\u00e3o diofantina n\u00e3o possui solu\u00e7\u00e3o e assim a congu\u00eancia anterior tamb\u00e9m n\u00e3o possui solu\u00e7\u00e3o.<\/div>\n
\nConsidere a congru\u00eancia
\n\\[
\n6x\\equiv 4\\pmod {10}.
\n\\]
\nNote que $x$ \u00e9 solu\u00e7\u00e3o desta congru\u00eancia se e somente se $10\\mid 6x-4$ que ocorre se e somente se $5\\mid 3x-2$. Ou seja, a congru\u00eancia original deste exemplo \u00e9 equivalente \u00e0 congru\u00eancia
\n\\[
\n3x\\equiv 2\\pmod{5}.
\n\\]
\nMultiplicando os dois lados desta congru\u00eancia com $2$ (que \u00e9 o inverso modular de $3$ m\u00f3dulo $5$), obtemos que
\n\\[
\nx\\equiv 4\\pmod 5
\n\\]
\ne as solu\u00e7\u00f5es s\u00e3o
\n\\[
\n\\{5k+4\\mid k \\in\\Z\\}.
\n\\]<\/div>\n
\nSejam $a,b\\in\\Z$ e $n\\in\\N$. Considere a congru\u00eancia
\n\\[
\nax\\equiv b\\pmod n.
\n\\]
\nA congru\u00eancia possui solu\u00e7\u00e3o se e somente se $\\mdc an\\mid b$. Neste caso, pondo $d=\\mdc an$, $a_1=a\/d$, $b_1=b\/d$ e $n_1=n\/d$ (e notando que estes s\u00e3o inteiros), a congru\u00eancia \u00e9 equivalente \u00e0 congru\u00eancia
\n\\[
\na_1 x\\equiv b_1\\pmod{n_1}
\n\\]
\nonde $\\mdc {a_1}{n_1}=1$. Seja $c\\in\\Z$ inverso de $a_1$ m\u00f3dulo $n_1$. Ent\u00e3o uma solu\u00e7\u00e3o particular desta congru\u00eancia \u00e9 $x_0=cb_1$ e a solu\u00e7\u00e3o geral \u00e9
\n\\[
\n\\{cb_1+kn_1\\mid k\\in\\Z\\}.
\n\\]<\/div>\n
\nSeja $d=\\mdc an$. Ent\u00e3o $x$ \u00e9 solu\u00e7\u00e3o da congru\u00eancia original se e somente se $n\\mid ax-b$. Se $d\\nmid b$, ent\u00e3o esta divisibilide \u00e9 imposs\u00edvel, pois $d\\mid n$ e $d\\mid ax$ e a congru\u00eancia n\u00e3o possiu solu\u00e7\u00e3o. Caso $d\\mid b$, a divisibilidade $n\\mid ax-b$ ocorre se e somente se $n_1\\mid a_1x-b_1$ e neste caso, a congru\u00eancia original \u00e9 equivalente \u00e0 congru\u00eancia
\n\\[
\na_1 x\\equiv b_1\\pmod{n_1}.
\n\\]
\nAgora $\\mdc{a_1}{n_1}=1$ e $a_1$ \u00e9 invert\u00edvel m\u00f3dulo $n_1$. A afirm\u00e7\u00e3o final do teorema pode ser verificada multiplicando os dois lados da \u00faltima congru\u00eancia por um inverso modular $c$ de $a_1$.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seja $x$ uma inc\u00f3gnita e considere a congru\u00eancia \\[ x\\equiv 4\\pmod 6. \\] As solu\u00e7\u00f5es desta congru\u00eancia s\u00e3o n\u00fameros inteiros que s\u00e3o congruentes com $4$ m\u00f3dulo $6$. Claramente $x=4$ \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o particular desta congru\u00eancia e o conjunto das solu\u00e7\u00f5es \u00e9 \\[ \\{6k+4\\mid k\\in\\Z\\}. \\] Considere agora o seguinte exemplo um pouco mais complicado: \\[ … Continue reading Congru\u00eancias com inc\u00f3gnitas<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1920"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1920"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1920\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1935,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1920\/revisions\/1935"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1920"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}