{"id":1776,"date":"2022-05-06T06:55:21","date_gmt":"2022-05-06T09:55:21","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1776"},"modified":"2022-05-06T06:56:08","modified_gmt":"2022-05-06T09:56:08","slug":"teorema-chines-dos-restos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-a\/teorema-chines-dos-restos\/","title":{"rendered":"Teorema Chin\u00eas dos Restos"},"content":{"rendered":"
\n
\nSejam $m,n\\in\\N$ primos entre si e sejam $r_m\\in\\{0,\\ldots,m-1\\}$ e $r_n\\in\\{0,\\ldots,n-1\\}$. Existe um \u00fanico inteiro $a$ entre $0$ e $mn-1$ tal que o resto de $a$ quando dividido por $m$ \u00e9 $r_m$ e o resto de $a$ quando dividido por $n$ \u00e9 $r_n$, respetivamente.\n<\/div>\n
\nSeja $a\\in\\{0,\\ldots,mn-1\\}$ e escreva $a=q_mm+r_m=q_nn+r_n$ onde $r_m\\in\\{0,\\ldots,m-1\\}$ e $r_n=\\{0,\\ldots,n-1\\}$. Defina a aplica\u00e7\u00e3o $\\psi$ na seguinte forma:
\n\\begin{align*}
\n\\psi&:\\{0,\\ldots,mn-1\\}\\to \\{0,\\ldots,m-1\\}\\times\\{0,\\ldots,n-1\\}\\\\
\na&\\mapsto(r_m,r_n).
\n\\end{align*}
\nA afirma\u00e7\u00e3o do teorema \u00e9 equivalente \u00e0 afirma\u00e7\u00e3o que $\\psi$ \u00e9 bijetiva e \u00e9 isso que nos vamos provar. Como o dom\u00ednio e o codom\u00ednio de $\\psi$ t\u00eam a mesma cardinalidade, precisamos provar apenas que $\\psi$ \u00e9 injetiva. Assuma que $a_1,a_2\\in\\{0,\\ldots,mn-1\\}$ tais que $a_1\\leq a_2$ e
\n\\[
\n\\psi(a_1)=\\psi(a_2)=(r_m,r_n).
\n\\]
\nIsso implica que
\n\\[
\na_1=q_1m+r_m=q_2n+r_n\\quad \\mbox{e}\\quad a_2=q_3m+r_m=q_4n+r_n
\n\\]
\ncom alguns $q_1,q_2,q_3,q_4\\in\\Z$. Daqui obtemos que
\n\\[
\na_2-a_1=(q_3-q_1)m=(q_4-q_2)n
\n\\]
\ne $n\\mid a_2-a_1$ e $m\\mid a_2-a_1$. Lembrando que $\\mdc mn=1$, isso implica que $mn\\mid a_2-a_1$. Mas $0\\leq a_2-a_1 < mn$, e assim $a_2-a_1=0$; ou seja $a_2=a_1$. Assim obtemos que nossa fun\u00e7\u00e3o $\\psi:a\\mapsto (r_m,r_n)$ \u00e9 injetiva e precisa ser bijetiva.\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sejam $m,n\\in\\N$ primos entre si e sejam $r_m\\in\\{0,\\ldots,m-1\\}$ e $r_n\\in\\{0,\\ldots,n-1\\}$. Existe um \u00fanico inteiro $a$ entre $0$ e $mn-1$ tal que o resto de $a$ quando dividido por $m$ \u00e9 $r_m$ e o resto de $a$ quando dividido por $n$ \u00e9 $r_n$, respetivamente. Seja $a\\in\\{0,\\ldots,mn-1\\}$ e escreva $a=q_mm+r_m=q_nn+r_n$ onde $r_m\\in\\{0,\\ldots,m-1\\}$ e $r_n=\\{0,\\ldots,n-1\\}$. Defina a aplica\u00e7\u00e3o … Continue reading Teorema Chin\u00eas dos Restos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":706,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1776"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1776"}],"version-history":[{"count":2,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1776\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1778,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1776\/revisions\/1778"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/706"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1776"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}