{"id":1677,"date":"2022-01-30T18:57:16","date_gmt":"2022-01-30T21:57:16","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1677"},"modified":"2023-01-06T14:53:00","modified_gmt":"2023-01-06T17:53:00","slug":"equacoes-polinomiais-do-terceiro-grau","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/equacoes-polinomiais-do-terceiro-grau\/","title":{"rendered":"Equa\u00e7\u00f5es polinomiais do terceiro grau"},"content":{"rendered":"
\nNesta p\u00e1gina vamos estudar equa\u00e7\u00f5es do terceiro grau. Para um tratamento mais detalhado, divertido, hist\u00f3rico, assista os v\u00eddeos nos canais Mathologer<\/a> e Veritasium<\/a>.<\/p>\n

Considere uma equa\u00e7\u00e3o na forma
\n\\begin{equation}
\nax^3+bx^2+cx+d=0
\n\\end{equation}
\nonde $a,b,c,d\\in\\C$ com $a\\neq 0$. N\u00f3s vamos determinar as ra\u00edzes complexas desta equa\u00e7\u00e3o. O procedimento ser\u00e1 apresentado em v\u00e1rios passos.<\/p>\n

Passo 1.<\/strong> A equa\u00e7\u00e3o original tem as mesmas ra\u00edzes que a equa\u00e7\u00e3o
\n\\[
\nx^3+(b\/a)x^2+(c\/a)x+d\/a=0.
\n\\]
\nAssim n\u00f3s consideremos apenas equa\u00e7\u00f5es na forma
\n\\begin{equation}\\label{eq:orig}
\nx^3+ax^2+bx+c=0\\tag{1}.
\n\\end{equation}<\/p>\n

Passo 2.<\/strong> Introduza uma nova vari\u00e1vel $y=x+a\/3$. Substituindo,
\n\\[
\n0=x^3+ax^2+bx+c=(y-a\/3)^3+a(y-a\/3)^2+b(y-a\/3)+c.
\n\\]
\nAbrindo as par\u00eanteses, obtemos que o coeficiente de $y^2$ na equa\u00e7\u00e3o anterior \u00e9 $-3a\/3+a=0$ e a equa\u00e7\u00e3o fica na forma
\n\\begin{equation}\\label{eq:pq}
\ny^3+py+q=0\\tag{2}
\n\\end{equation}
\nonde
\n\\[
\np=b-\\frac{a^2}3\\quad\\mbox{e}\\quad q=c-\\frac{ab}3+\\frac{2a^3}{27}.
\n\\]
\nSe $\\alpha\\in\\C$ \u00e9 raiz da equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:pq}, ent\u00e3o $\\beta=\\alpha-a\/3$ \u00e9 raiz da equa\u00e7\u00e3o (\\ref{eq:orig}).<\/p>\n

Passo 3.<\/strong> Assuma que $\\alpha\\in\\C$ \u00e9 raiz da equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:pq}. Escreva $\\alpha=u+v$ com $u,v\\in\\C$ onde $u$ e $v$ ser\u00e3o determinados mais tarde. Obtem-se que
\n\\begin{align*}
\n0&=(u+v)^3+p(u+v)+q\\\\&=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q\\\\&=(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v).
\n\\end{align*}
\nVamos escolher $u,v\\in\\C$ tais que
\n\\begin{align*}
\nu^3+v^3&=-q\\\\
\nuv&=-p\/3
\n\\end{align*}
\npois esta escolha garante a igualdade na equa\u00e7\u00e3o anterior.
\nO sistema das duas equa\u00e7\u00f5es para $u$ e $v$ implica que
\n\\begin{align*}
\nu^3+v^3&=-q\\\\
\nu^3v^3&=-p^3\/27.
\n\\end{align*}
\nAssim $u^3$ e $v^3$ s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o
\n\\[
\nt^2+qt-p^3\/27=0
\n\\]
\ne obtemos da f\u00f3rmula quadr\u00e1tica que
\n\\begin{equation}\\label{eq:u3}
\nu^3=\\frac{-q\\pm \\sqrt{q^2+4p^3\/27}}2\\tag{3}
\n\\end{equation}
\nLogo
\n\\[
\nu = \\sqrt[3]{\\frac{-q\\pm \\sqrt{q^2+4p^3\/27}}2}
\n\\]
\ne
\n\\[
\nv = \\frac{-p}{3u}.
\n\\]
\nAgora $\\alpha=u+v$ \u00e9 solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:pq} e
\n\\[
\n\\beta=\\alpha-a\/3=u+v-a\/3
\n\\]
\n\u00e9 solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:orig}. Observe que na equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:u3}, temos tr\u00eas escolhas para $u$ que resulta em tr\u00eas solu\u00e7\u00f5es para a equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:orig}.<\/p>\n

\nConsidere a equa\u00e7\u00e3o
\n\\[
\nf(x)=x^3-6x^2+9x-3=0.
\n\\]
\nSubstitu\u00edmos $y=x-2$, e obtemos que
\n\\[
\ng(y)=f(y+2)=y^3-3y-1=0.
\n\\]
\nAssuma que $\\alpha=u+v$ \u00e9 uma raiz da equa\u00e7\u00e3o $g(y)=0$. Ent\u00e3o $u^3$ e $v^3$ s\u00e3o ra\u00edzes de
\n\\[
\nt^2-t+1
\n\\]
\ne assim
\n\\[
\nu^3=\\frac{1+\\sqrt{-3}}2=\\frac 12+\\frac{\\sqrt 3}2i=\\cos(\\pi\/3)+i\\mbox{sen}(\\pi\/3).
\n\\]
\nAs tr\u00eas ra\u00edzes c\u00fabicas de $u^3$ s\u00e3o
\n\\begin{align*}
\nu_1&=\\cos(\\pi\/9)+i\\mbox{sen}(\\pi\/9)\\\\
\nu_2&=\\cos(7\\pi\/9)+i\\mbox{sen}(7\\pi\/9)\\\\
\nu_3&=\\cos(13\\pi\/9)+i\\mbox{sen}(13\\pi\/9)\\\\
\n\\end{align*}
\ne os valores de $v$ correspondentes s\u00e3o
\n\\begin{align*}
\nv_1&=u_1^{-1}=\\cos(\\pi\/9)-i\\mbox{sen}(\\pi\/9)\\\\
\nv_2&=u_2^{-1}=\\cos(7\\pi\/9)-i\\mbox{sen}(7\\pi\/9)\\\\
\nv_3&=u_3^{-1}=\\cos(13\\pi\/9)+i\\mbox{sen}(13\\pi\/9).
\n\\end{align*}
\nAs solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o $g(y)=0$ s\u00e3o obtidos como
\n\\begin{align*}
\n\\alpha_1&=u_1+v_1=2\\cos(\\pi\/9)\\\\
\n\\alpha_2&=u_2+v_2=2\\cos(7\\pi\/9)\\\\
\n\\alpha_3&=u_3+v_3=2\\cos(13\\pi\/9).
\n\\end{align*}
\nAs solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o original $f(x)=0$ s\u00e3o
\n\\begin{align*}
\n\\beta_1&=\\alpha_1+2=2\\cos(\\pi\/9)+2\\\\
\n\\beta_2&=\\alpha_2+2=2\\cos(7\\pi\/9)+2\\\\
\n\\beta_3&=\\alpha_3+2=2\\cos(13\\pi\/9)+2.
\n\\end{align*}<\/div>\n

O procedimento acima poderia ser escrito na forma de uma f\u00f3rmula c\u00fabica, mas esta f\u00f3rmula, devido a sua complexidade, n\u00e3o seria \u00fatil na pr\u00e1tica. Existe um procedimento similar, mas bem mais complicado, para resolver equa\u00e7\u00f5es do quarto grau e este procedimento tamb\u00e9m poderia ser escrito como uma f\u00f3rmula qu\u00e1rtica. O v\u00eddeo do canal Mathologer inserido no in\u00edcio da p\u00e1gina mostra a f\u00f3rmula geral c\u00fabica. A partir de grau cinco, n\u00e3o existe mais tais f\u00f3rmulas e este resultado \u00e9 conhecido como o Teorema de Abel<\/a>–Ruffini<\/a>.<\/p>\n

(O Teorema de Abel-Ruffini)
\nSe $k\\geq 5$, ent\u00e3o n\u00e3o existe f\u00f3rmula para obter as ra\u00edzes complexas de um polin\u00f4mio arbitr\u00e1rio de grau $k$ usando apenas os coeficientes do polin\u00f4mio, constantes, as opera\u00e7\u00f5es da adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o, multiplica\u00e7\u00e3o, divis\u00e3o, e tomando $n$-esimas ra\u00edzes para $n\\geq 2$.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina vamos estudar equa\u00e7\u00f5es do terceiro grau. Para um tratamento mais detalhado, divertido, hist\u00f3rico, assista os v\u00eddeos nos canais Mathologer e Veritasium. Considere uma equa\u00e7\u00e3o na forma \\begin{equation} ax^3+bx^2+cx+d=0 \\end{equation} onde $a,b,c,d\\in\\C$ com $a\\neq 0$. N\u00f3s vamos determinar as ra\u00edzes complexas desta equa\u00e7\u00e3o. O procedimento ser\u00e1 apresentado em v\u00e1rios passos. Passo 1. A equa\u00e7\u00e3o … Continue reading Equa\u00e7\u00f5es polinomiais do terceiro grau<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1677"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1677"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1677\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2014,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1677\/revisions\/2014"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1677"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}