{"id":1659,"date":"2022-01-29T18:21:31","date_gmt":"2022-01-29T21:21:31","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1659"},"modified":"2023-01-06T14:52:37","modified_gmt":"2023-01-06T17:52:37","slug":"polinomio-em-qx-parte-i-o-criterio-de-eisenstein","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/polinomio-em-qx-parte-i-o-criterio-de-eisenstein\/","title":{"rendered":"Polin\u00f4mios em $\\Q[x]$. Parte II: O Crit\u00e9rio de Eisenstein"},"content":{"rendered":"
\n
(O Crit\u00e9rio de Eisenstein<\/a>) Seja
\n\\[
\nf(x)=a_nx^n+\\cdots+a_1x+a_0\\in\\Z[x]
\n\\]
\ncom $a_n\\neq 0$ tal que existe um primo $p$ tal que $p\\nmid a_n$, $p\\mid a_i$ para todo $i\\in\\{0,\\ldots,n-1\\}$ e $p^2\\nmid a_0$. Ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel em $\\Q[x]$.<\/div>\n
\nAssuma por procurar uma contradi\u00e7\u00e3o que $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Q[x]$. Pelo Lema de Gauss, existem $g(x),h(x)\\in\\Z[x]$ tal que $f(x)=g(x)h(x)$ tais que $1\\leq \\grau{g(x)},\\grau{h(x)}\\leq\\grau{f(x)}-1$. Assuma que
\n\\begin{align*}
\ng(x)&=b_rx^r+\\cdots +b_1x+b_0\\\\
\nh(x)&=c_sx^s+\\cdots +c_1x+c_0
\n\\end{align*}
\ncom $b_r,c_s\\neq 0$, $r,s\\geq 1$ e $r+s=n$. Temos que $a_n=b_rc_s$ e $a_0=b_0c_0$. Como $p\\nmid a_n$, temos que $p\\nmid b_r$ e $p\\nmid c_s$. Similarmente, como $p\\mid a_0$ e $p^2\\nmid a_0$, segue que $p\\mid b_0$ ou $p\\mid c_0$ mas $p$ n\u00e3o divide ambos $b_0$ e $c_0$. Assuma sem perder generalidade que $b\\mid b_0$ e $p\\nmid c_0$. Seja $t$ o menor \u00edndice tal que $p\\nmid b_t$. Ent\u00e3o $t\\leq r < n$. O coeficiente $a_t$ \u00e9 obtido como
\n\\[
\na_t=b_tc_0+b_{t-1}c_1+\\cdots+b_1c_{t-1}+b_0c_t
\n\\]
\n(se $\\grau{h(x)} < t$, ent\u00e3o tomamos $c_{s+1}=\\cdots=c_t=0$).
\nPelas condi\u00e7\u00f5es do lema, $p\\mid a_t$ e isso implica que $p\\mid b_tc_0$ mas isso \u00e9 imposs\u00edvel como $p\\nmid b_t$ e $p\\nmid c_0$. Logo a fatora\u00e7\u00e3o $f(x)=g(x)h(x)$ n\u00e3o existe e assim $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/div>\n
\nSeja $f(x)=x^n-p\\in\\Z[x]$ onde $p$ \u00e9 um primo e $n\\geq 1$. O crit\u00e9rio de Eisenstein vale para $f(x)$ e assim $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel. Em particular $\\Q[x]$ possui polin\u00f4mios irredut\u00edveis de grau arbitr\u00e1rio.<\/div>\n
\nSeja $p\\in\\N$ um primo e considere
\n\\[
\nf(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\\cdots+x+1\\in\\Z[x].
\n\\]
\nO polin\u00f4mio $f(x)$ \u00e9 chamado polin\u00f4mio ciclot\u00f3mico de grau $p$. Note que
\n\\[
\nf(x)=\\frac{x^p-1}{x-1}.
\n\\]
\nAfirmamos que $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel em $\\Q[x]$. O Crit\u00e9rio de Eisenstein n\u00e3o \u00e9 diretamente aplic\u00e1vel e n\u00f3s vamos fazer uma substitui\u00e7\u00e3o de vari\u00e1vel $y=x+1$. Assim
\n\\begin{align*}
\nf(y)&=\\frac{y^p-1}{y-1}=\\frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1}\\\\
\n&=\\frac{x^p+p x^{p-1}+\\binom p2x^{p-2}+\\cdots+\\binom p{p-2}x^2+px+1-1}{x}\\\\&=
\nx^{p-1}+p x^{p-2}+\\binom p2x^{p-3}+\\cdots+\\binom p{p-2}x+p.
\n\\end{align*}
\nO coeficiente binomial $\\binom pk$ \u00e9 divis\u00edvel por $p$ para todo $k\\in\\{1,\\ldots,p-1\\}$.
\nPelo Crit\u00e9rio de Eisentein, $f(y)$ \u00e9 irredut\u00edvel. Como $x=y-1$, temos que $f(x)=f(y-1)$ \u00e9 tamb\u00e9m irredut\u00edvel.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

(O Crit\u00e9rio de Eisenstein) Seja \\[ f(x)=a_nx^n+\\cdots+a_1x+a_0\\in\\Z[x] \\] com $a_n\\neq 0$ tal que existe um primo $p$ tal que $p\\nmid a_n$, $p\\mid a_i$ para todo $i\\in\\{0,\\ldots,n-1\\}$ e $p^2\\nmid a_0$. Ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel em $\\Q[x]$. Assuma por procurar uma contradi\u00e7\u00e3o que $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Q[x]$. Pelo Lema de Gauss, existem $g(x),h(x)\\in\\Z[x]$ tal que $f(x)=g(x)h(x)$ … Continue reading Polin\u00f4mios em $\\Q[x]$. Parte II: O Crit\u00e9rio de Eisenstein<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1659"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1659"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1659\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2012,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1659\/revisions\/2012"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1659"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}