{"id":1655,"date":"2022-01-29T16:07:00","date_gmt":"2022-01-29T19:07:00","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1655"},"modified":"2023-01-06T14:52:26","modified_gmt":"2023-01-06T17:52:26","slug":"polinomio-irredutiveis-em-qx","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/polinomio-irredutiveis-em-qx\/","title":{"rendered":"Polin\u00f4mios em $\\Q[x]$. Parte I: O Lema de Gauss"},"content":{"rendered":"<div style=\"color:black;\">\nPolin\u00f4mios irredut\u00edveis t\u00eam descri\u00e7\u00e3o muito simples em $\\C[x]$ e em $\\R[x]$. A situa\u00e7\u00e3o \u00e9 bem mais complicada em $\\Q[x]$. Assuma que $f(x)\\in\\Q[x]$. Ent\u00e3o $f(x)$ pode ser escrito como<br \/>\n\\[<br \/>\nf(x)=\\frac{a_n}{b_n} x^n+\\cdots +\\frac{a_1}{b_1}x+\\frac{a_0}{b_0}<br \/>\n\\]<br \/>\nonde $a_i,b_j\\in\\Z$.<br \/>\nMultiplicando $f(x)$ por um m\u00faltiplo comum dos denominadores, obtemos um polin\u00f4mio<br \/>\n\\[<br \/>\nf_1(x)=c_nx^n+\\cdots+c_1x+c_0\\in\\Z[x].<br \/>\n\\]<br \/>\nAl\u00e9m disso, como $f_1(x)$ foi obtido como um m\u00faltiplo de $f(x)$ por um constante n\u00e3o nulo, temos que $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel em $\\Q[x]$ se e somente se $f_1(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel em $\\Q[x]$. Portanto, quando consideramos a quest\u00e3o da irredutibilidade de um  polin\u00f4mio $f(x)\\in\\Q[x]$, podemos assumir sem perder a generalidade que $f(x)\\in\\Z[x]$.<\/p>\n<p>Dados $a_1,\\ldots,a_k\\in\\Z$ n\u00e3o simultaneamente zero com $k\\geq 2$, ent\u00e3o o MDC dos n\u00fameros $a_i$ \u00e9 definido como o n\u00famero $d$ que satisfaz as propriedades que<\/p>\n<ul>\n<li>$d\\geq 0$;<\/li>\n<li>$d\\mid a_i$ para todo $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$;<\/li>\n<li>Se $c\\in\\Z$ tal que $c\\mid a_i$ para todo $i$, ent\u00e3o $c\\mid d$.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pode-se monstrar como no caso do $\\mdc ab$ que o MDC de $a_1,\\ldots,a_k$ existe unicamente e assim pode ser escrito como $\\mbox{mdc}(a_1,\\ldots,a_k)$. Al\u00e9m disso, para $k\\geq 3$, vale que<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mbox{mdc}(a_1,\\ldots,a_k)=\\mbox{mdc}(\\mbox{mdc}(a_1,\\ldots,a_{k-1}),a_k).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>O $\\mbox{mmc}(a_1,\\ldots,a_k)$ pode ser definido de modo an\u00e1logo.<\/p>\n<div class=\"definition\">\nSeja $f(x)=a_nx^n+\\cdots+a_1x+a_0\\in\\Z[x]\\setminus\\{0\\}$. O <strong>conte\u00fado<\/strong> de $f(x)$ \u00e9 definido como $\\mbox{mdc}(a_n,\\ldots,a_1,a_0)$. O polin\u00f4mio $f(x)$ \u00e9 dito <strong>primitivo<\/strong> se seu conte\u00fado \u00e9 igual a $1$.<\/div>\n<div class=\"example\">\nO conte\u00fado do polin\u00f4mio $2x^2+4x-2\\in\\Z[x]$ \u00e9 $2$, ent\u00e3o ele n\u00e3o \u00e9 primitivo. O conte\u00fado do polin\u00f4mio $2x^3-4x^2-1\\in\\Z[x]$ \u00e9 $1$, ent\u00e3o ele \u00e9 primitivo.<\/div>\n<p>Se $f(x)\\in\\Z[x]$ e $\\alpha\\in\\Z$ \u00e9 seu conte\u00fado, ent\u00e3o $f(x)=\\alpha f_0(x)$ onde $f_0(x)\\in\\Z[x]$ \u00e9 um polin\u00f4mio primitivo. Por exemplo, $2x^2+4x-2=2(x^2+2x-1)$ onde $x^2+2x-1$ \u00e9 primitivo.<\/p>\n<div class=\"definition\">\nSeja<br \/>\n\\[<br \/>\nf(x)=a_nx^n+\\cdots+a_1x+a_0\\in\\Z[x]<br \/>\n\\]<br \/>\ne $p\\in\\N$ um primo. Definimos a redu\u00e7\u00e3o $\\overline{f(x)}$ de $f(x)$ m\u00f3dulo $p$ como o polin\u00f4mio<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline{f(x)}=\\overline{a_n}x^n+\\cdots+\\overline{a_1}x+\\overline{a_0}\\in\\Z_p[x]<br \/>\n\\]<br \/>\nonde $\\overline{a_i}\\in\\Z_p$ \u00e9 a classe residual que cont\u00e9m $a_i$.<\/div>\n<div class=\"example\">\nA redu\u00e7\u00e3o do polin\u00f4mio $10x^2+7x-3$ m\u00f3dulo $5$ \u00e9 $\\overline 2x+\\overline 2\\in\\Z_5[x]$.<br \/>\nNote que a redu\u00e7\u00e3o de um polin\u00f4mio $a_nx^n+\\cdots+a_1x+a_0$ m\u00f3dulo $p$ \u00e9 $0$ se e somente se $p\\mid a_i$ para todo $i$.<\/div>\n<div class=\"exercise\">\nSejam $f(x),g(x)\\in\\Z[x]$ e $p$ um primo. Mostre para os polin\u00f4mios reduzidos m\u00f3dulo $p$ que<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\overline{f(x)+g(x)}&amp;=\\overline{f(x)}+\\overline{g(x)}\\\\<br \/>\n\\overline{f(x)g(x)}&amp;=\\overline{f(x)}\\cdot\\overline{g(x)}\\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/div>\n<div class=\"exercise\">\nSeja $f(x)\\in\\Z[x]$ um polin\u00f4mio primitivo e redut\u00edvel (em $\\Z[x]$) e seja $p$ um primo. Assuma que a redu\u00e7\u00e3o $\\overline{f(x)}$ m\u00f3dulo $p$ tem o mesmo grau que $f(x)$. Mostre que $\\overline{f(x)}$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Z_p[x]$.<\/div>\n<div class=\"lemma\">\nSejam $f(x),g(x)\\in\\Z[x]$ polin\u00f4mios primitivos. Ent\u00e3o $f(x)g(x)$ \u00e9 primitivo.<\/div>\n<div class=\"proof\">\nSeja $h(x)=f(x)g(x)$ e assuma que $h(x)$ n\u00e3o \u00e9 primitivo. Ent\u00e3o existe um primo $p$ tal que $p$ divide todos os coeficientes de $h(x)$. Sejam $\\overline{f(x)}$, $\\overline{g(x)}$, $\\overline{h(x)}$ as redu\u00e7\u00f5es de $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$, respetivamente, m\u00f3dulo $p$. A frase anterior implica que $\\overline{h(x)}=0$ e segue do exerc\u00edcio anterior que<br \/>\n\\[<br \/>\n0=\\overline{h(x)}=\\overline{f(x)}\\cdot \\overline{g(x)}\\in\\Z_p[x].<br \/>\n\\]<br \/>\nComo $\\Z_p[x]$ \u00e9 um dom\u00ednio, temos que $\\overline{f(x)}=0$ ou $\\overline{g(x)}=0$; ou seja $p$ divide os coeficientes de $f(x)$ ou $p$ divide os coeficientes de $g(x)$. Mas isso implica que $f(x)$ n\u00e3o \u00e9 primitivo ou $g(x)$ n\u00e3o \u00e9 primitivo que contradiz \u00e0s suposi\u00e7\u00f5es do lema.<\/div>\n<p>Dado um polin\u00f4mio primitivo $f(x)\\in\\Z[x]$, nos perguntamos se $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Q[x]$ ou em $\\Z[x]$. Se $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Z[x]$, ent\u00e3o ele \u00e9 claramente redut\u00edvel em $\\Q[x]$. O caso contr\u00e1rio n\u00e3o \u00e9 t\u00e3o \u00f3bvio, mas segue do seguinte resultado conhecido como o Lema de <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Carl_Friedrich_Gauss\">Gauss<\/a>.<\/p>\n<div class=\"theorem\">(Lema de Gauss)<br \/>\nSeja $f(x)\\in\\Z[x]$ um polin\u00f4mio redut\u00edvel em $\\Q[x]$. Ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Z[x]$.<\/div>\n<div class=\"proof\">\nDividir $f(x)$ com seu conte\u00fado n\u00e3o altera a redutibilidade do polin\u00f4mio em $\\Q[x]$ e assim n\u00f3s podemos assumir sem perder generalidade que $f(x)$ \u00e9 primitivo.<br \/>\nAssuma que $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Q[x]$ e pode ser fatorado como<br \/>\n\\[<br \/>\nf(x)=g(x)h(x)<br \/>\n\\]<br \/>\nonde $g(x),h(x)\\in\\Q[x]$ e $1\\leq \\grau{g(x)},\\grau{h(x)}\\leq \\grau{f(x)}-1$. Precisamos provar que $f(x)$ pode ser fatorado como produto de polin\u00f4mios em $\\Z[x]$. Seja<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\ng(x)&amp;=\\frac{u_n}{v_n}x^n+\\cdots+\\frac{u_1}{v_1}x+\\frac{u_0}{v_0}\\\\<br \/>\nh(x)&amp;=\\frac{a_m}{b_m}x^m+\\cdots+\\frac{a_1}{b_1}x+\\frac{a_0}{b_0}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nonde os $u_i$, $v_i$, $a_i$, $b_i$ s\u00e3o inteiros. Ponha $v=\\mbox{mmc}(v_n,\\ldots,v_0)$ e $b=\\mbox{mmc}(b_m,\\ldots,b_0)$ e multiplique a equa\u00e7\u00e3o $f(x)=g(x)h(x)$ com $vb$ para obter que<br \/>\n\\[<br \/>\nvbf(x)=(vg(x))(bh(x)).<br \/>\n\\]<br \/>\nObserve que $vbf(x), vg(x), bh(x)\\in\\Z[x]$. Sejam $c_1$ e $c_2$ os conte\u00fados de $vg(x)$ e $bh(x)$, respetivamente. Ent\u00e3o<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nvg(x)&amp;=c_1g_0(x)\\\\<br \/>\nbh(x)&amp;=c_2h_0(x)<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nonde $g_0(x),h_0(x)$ s\u00e3o polin\u00f4mios primitivos. Assim,<br \/>\n\\[<br \/>\nvbf(x)=(vg(x))(bh(x))=(c_1g_0(x))(c_2h_0(x))=c_1c_2g_0(x)h_0(x).<br \/>\n\\]<br \/>\nComo $f(x)$ \u00e9 primitivo, o conte\u00fado de $vbf(x)$ \u00e9 $vb$. Por outro lado, o lema anterior implica que $g_0(x)h_0(x)$ \u00e9 primitivo, ent\u00e3o o conte\u00fado do lado direito \u00e9 $c_1c_2$. Como os dois lados da equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o (obviamente) iguais, temos que $vb=c_1c_2$ e este termo pode ser cancelado. Assim<br \/>\n\\[<br \/>\nf(x)=g_0(x)h_0(x)<br \/>\n\\]<br \/>\n\u00e9 uma fatora\u00e7\u00e3o de $f(x)$ com $g_0(x),h_0(x)\\in\\Z[x]$ e $\\grau{g_0(x)}=\\grau{g(x)}$ e $\\grau{h_0(x)}=\\grau{h(x)}$. Assim $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel em $\\Z[x]$.<\/div>\n<p>O significado do lema do Gauss \u00e9 o seguinte: Se $f(x)\\in\\Z[x]$ pode ser fatorado como produto de polin\u00f4mios $g(x),h(x)\\in\\Q[x]$ com grau maior ou igual que $1$, ent\u00e3o o mesmo pode ser fatorado como produto de polin\u00f4mios $g_0(x),h_0(x)\\in\\Z[x]$ onde $\\grau{g_0(x)}=\\grau{g(x)}$ e $\\grau{h_0(x)}=\\grau{h(x)}$.<\/p>\n<div class=\"example\">\nSeja $f(x)=x^4+x^2+x+1\\in\\Z[x]$ e vamos mostrar que $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel em $\\Q[x]$. Pelo Teorema das Ra\u00edzes Racionais, $f(x)$ n\u00e3o tem ra\u00edzes em $\\Q$. Logo, se $f(x)$ fosse redut\u00edvel, $f(x)=g(x)h(x)$ onde $g(x),h(x)\\in\\Q[x]$ ambos de grau $2$. Ora, o Lema de Gauss diz que n\u00f3s podemos assumir sem perder generalidade que $g(x),h(x)\\in\\Z[x]$. Assim $f(x)$ pode ser fatorado como<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\\\\&amp;=x^4+(a+c)x^3+(d+b+ac)x^2+(ad+bc)x+bd<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nonde $a,b,c,d\\in\\Z$.<br \/>\nComparando os coeficientes de $f(x)$ com os coeficientes do polin\u00f4mio na \u00faltima equa\u00e7\u00e3o, obtemos que<br \/>\n$a+c=0$ e $bd=1$. Assim, $b=d=1$ ou $b=d=-1$  e $1=ad+bc=\\pm(a+c)$ que contradiz \u00e0 equa\u00e7\u00e3o que $a+c=0$. Portanto, tal fatora\u00e7\u00e3o n\u00e3o existe e $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Polin\u00f4mios irredut\u00edveis t\u00eam descri\u00e7\u00e3o muito simples em $\\C[x]$ e em $\\R[x]$. A situa\u00e7\u00e3o \u00e9 bem mais complicada em $\\Q[x]$. Assuma que $f(x)\\in\\Q[x]$. Ent\u00e3o $f(x)$ pode ser escrito como \\[ f(x)=\\frac{a_n}{b_n} x^n+\\cdots +\\frac{a_1}{b_1}x+\\frac{a_0}{b_0} \\] onde $a_i,b_j\\in\\Z$. Multiplicando $f(x)$ por um m\u00faltiplo comum dos denominadores, obtemos um polin\u00f4mio \\[ f_1(x)=c_nx^n+\\cdots+c_1x+c_0\\in\\Z[x]. \\] Al\u00e9m disso, como $f_1(x)$ foi obtido &hellip; <a href=\"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/polinomio-irredutiveis-em-qx\/\" class=\"more-link\">Continue reading <span class=\"screen-reader-text\">Polin\u00f4mios em $\\Q[x]$. Parte I: O Lema de Gauss<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1655"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1655"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1655\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2011,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1655\/revisions\/2011"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1655"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}