{"id":1650,"date":"2022-01-29T11:28:36","date_gmt":"2022-01-29T14:28:36","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1650"},"modified":"2023-01-06T14:52:11","modified_gmt":"2023-01-06T17:52:11","slug":"dominios-de-fatoracao-unica-dfu","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/dominios-de-fatoracao-unica-dfu\/","title":{"rendered":"Dom\u00ednios de Fatora\u00e7\u00e3o \u00danica (DFU)"},"content":{"rendered":"
\nO Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica e o Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios s\u00e3o resultados parecidos no sentido que os dois afirmam que os objetos em $\\Z$ e em $\\F[x]$ podem ser escritos unicamente como produtos de “indecompon\u00edveis”. Os “indecompon\u00edveis” em $\\Z$ s\u00e3o os primos, enquanto os “indecompon\u00edveis” em $\\F[x]$ s\u00e3o os polin\u00f4mios irredut\u00edveis. N\u00f3s queremos generalizar esta observa\u00e7\u00e3o para uma classe maior de estruturas alg\u00e9bricas.<\/p>\n

Lembre que o conceito de elemento irredut\u00edvel (ou redut\u00edvel) foi definido na p\u00e1gina Polin\u00f4mios Irredut\u00edveis<\/a>.<\/p>\n

\nUm dom\u00ednio $R$ \u00e9 dito dom\u00ednio de fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica<\/strong> (ou DFU<\/strong>) se todo elemento $a\\in R\\setminus\\{0\\}$ tal que $a$ n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel pode ser escrito como
\n\\[
\na=q_1\\cdots q_k
\n\\]
\nonde os $q_i$ s\u00e3o irredut\u00edveis e esta fatora\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica no seguinte sentido. Se
\n\\[
\na=q_1\\cdots q_k=r_1\\cdots r_m
\n\\]
\ntais que os $q_i$ e os $r_j$ s\u00e3o irredut\u00edveis, ent\u00e3o $k=m$ e os fatores $r_1,\\ldots,r_m$ podem ser reindexados em tal modo que
\n\\[
\nr_i=\\alpha_i q_i
\n\\]
\nvale com $\\alpha_i\\in R$ invert\u00edvel para todo $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$.<\/div>\n
\nPara entender melhor a interpreta\u00e7\u00e3o da unicidade na defini\u00e7\u00e3o anterior, considere por exemplo $R=\\R[x]$. O polin\u00f4mio $x^2-1\\in\\R[x]$ pode ser escrito de v\u00e1rias maneiras como produto de irredut\u00edveis:
\n\\[
\nx^2-1=(x+1)(x-1)=(2x+2)\\left(\\frac x2-\\frac 12\\right)=\\left(\\frac x3-\\frac 13\\right)(3x+3).
\n\\]
\nEm todas estas fatora\u00e7\u00f5es, um dos fatores \u00e9 $\\alpha_1(x+1)$ enquanto o outro \u00e9 $\\alpha_2(x-1)$ onde $\\alpha_1,\\alpha_2\\in\\R\\setminus\\{0\\}$; ou seja $\\alpha_1,\\alpha_2$ s\u00e3o elemento invert\u00edveis em $\\R[x]$. \u00c9 f\u00e1cil verificar usando os resultados estudados que todas as fatora\u00e7\u00f5es de $x^2-1$ em fatores irredut\u00edveis s\u00e3o na forma
\n\\[
\nx^2-1=(\\alpha_1(x+1))(\\alpha_2(x-1))
\n\\]
\nou
\n\\[
\nx^2-1=(\\alpha_1(x-1))(\\alpha_2(x+1))
\n\\]
\nonde $\\alpha_1,\\alpha_2\\in\\R\\setminus\\{0\\}$ (e $\\alpha_1\\alpha_2=1$).<\/div>\n
\nSe $R$ \u00e9 um corpo, ent\u00e3o ele \u00e9 DFU pois $R\\setminus\\{0\\}$ n\u00e3o possui elementos n\u00e3o invert\u00edveis. Ent\u00e3o a condi\u00e7\u00e3o na defini\u00e7\u00e3o de DFU \u00e9 trivialmente v\u00e1lida para $R$.<\/p>\n

Pelo Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica, $\\Z$ \u00e9 DFU. Pelo Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios, $\\F[x]$ \u00e9 DFU sempre que $\\F$ \u00e9 um corpo.<\/p>\n<\/div>\n

O seguinte teorema \u00e9 \u00fatil para construir dom\u00ednios de fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica, mas a demonstra\u00e7\u00e3o n\u00e3o ser\u00e1 apresentada nesta disciplina.<\/p>\n

\nSe $R$ \u00e9 DFU, ent\u00e3o $R[x]$ \u00e9 DFU.<\/div>\n
\nO teorema anterior implica que $\\Z[x]$ \u00e9 DFU. Para um anel $R$, o conjunto $R[x,y]$ de polin\u00f4mios em duas vari\u00e1veis pode ser visto como o anel $(R[x])[y]$ de polin\u00f4mios na vari\u00e1vel $y$ sobre o anel $R[x]$ dos polin\u00f4mios na vari\u00e1vel $x$. Similarmente, n\u00f3s podemos olhar em $R[x_1,\\ldots,x_k]$ recursivamente como o anel $(R[x_1,\\ldots,x_{k-1}])[x_k]$. Logo, o teorema anterior implica que se $R$ \u00e9 um DFU, ent\u00e3o $R[x_1,\\ldots,x_k]$ \u00e9 DFU para todo $k\\geq 1$. Em particular, $\\Z[x_1,\\ldots,x_k]$ \u00e9 DFU e, se $\\F$ \u00e9 um corpo, $\\F[x_1,\\ldots,x_k]$ tamb\u00e9m \u00e9 DFU.<\/div>\n
\nO dom\u00ednio mais conhecido que n\u00e3o \u00e9 DFU \u00e9 $\\Z[\\sqrt{-5}]$. Neste dom\u00ednio, podemos fatorar o elemento $6$ como
\n\\[
\n6=2\\cdot 3=(1+\\sqrt{-5})(1-\\sqrt{-5}).
\n\\]
\nPode-se verificar que os fatores nas duas descomposi\u00e7\u00f5es s\u00e3o irredut\u00edveis, mas os fatores na segunda decomposi\u00e7\u00e3o n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos dos fatores na primeira decomposi\u00e7\u00e3o por elementos invert\u00edveis, pois os \u00fanicos invert\u00edveis em $\\Z[\\sqrt{-5}]$ s\u00e3o $1$ e $-1$.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

O Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica e o Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios s\u00e3o resultados parecidos no sentido que os dois afirmam que os objetos em $\\Z$ e em $\\F[x]$ podem ser escritos unicamente como produtos de “indecompon\u00edveis”. Os “indecompon\u00edveis” em $\\Z$ s\u00e3o os primos, enquanto os “indecompon\u00edveis” em $\\F[x]$ s\u00e3o os polin\u00f4mios irredut\u00edveis. N\u00f3s queremos … Continue reading Dom\u00ednios de Fatora\u00e7\u00e3o \u00danica (DFU)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1650"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1650"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1650\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2010,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1650\/revisions\/2010"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1650"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}