{"id":1634,"date":"2022-01-24T21:30:58","date_gmt":"2022-01-25T00:30:58","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1634"},"modified":"2023-01-06T14:51:28","modified_gmt":"2023-01-06T17:51:28","slug":"raizes-primitivas-parte-ii","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/raizes-primitivas-parte-ii\/","title":{"rendered":"Elementos primitivos: A demonstra\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"
\nNesta p\u00e1gina n\u00f3s vamos provar o Teorema dos Elementos Primitivos que enunciamos no segundo bloco da disciplina sem demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\nSeja $n\\in\\N$. Mostre que
\n\\[
\n\\sum_{k\\in\\N,\\ k\\mid n}\\varphi(k)=n.
\n\\]<\/div>\n
\nSe $p\\in\\N$ for um primo, ent\u00e3o $\\Z_p$ possui um elemento primitivo (ou seja, um elemento de ordem $p-1$).<\/div>\n
\nSeja $a\\in\\Z_p$ de ordem $k$. Isso quer dizer que $a^k=\\overline 1$ e $k$ \u00e9 o menor natural que satisfaz esta propriedade. O Pequeno Teorema de Fermat e as propriedades da ordem implicam que $k\\mid p-1$. Se $m\\in\\{0,\\ldots,k-1\\}$, temos que $(a^m)^k=\\overline 1$, ent\u00e3o os elementos $a^m$ s\u00e3o ra\u00edzes do polin\u00f4mio $x^k-\\overline 1\\in\\Z_p[x]$. Por outro lado, este polin\u00f4mio tem no m\u00e1ximo $k$ ra\u00edzes e segue que $a^0,a,a^2,\\ldots,a^{k-1}$ s\u00e3o todas as ra\u00edzes de $x^k-\\overline 1\\in\\Z_p[x]$. Isso implica que
\n\\[
\n\\{b\\in\\Z_p\\mid b^k=\\overline 1\\}=\\{1,a,a^2,\\ldots,a^{k-1}\\}.
\n\\]<\/p>\n

Vamos contar o n\u00famero dos elementos $b$ de ordem $k$. Tal elemento $b$ est\u00e1 na forma $a^m$ com algum $m\\in\\{0,\\ldots,k-1\\}$ pelo argumento acima. Al\u00e9m disso,
\n\\[
\n|a^m|=k\/\\mdc mk
\n\\]
\ne $|a^m|=k$ se e somente se $\\mdc mk=1$. Portanto
\n\\[
\n\\{b\\in\\Z_p\\mid |b|=k\\}=\\{a^m\\mid m\\in\\{0,\\ldots,k-1\\},\\ \\mdc mk=1\\}.
\n\\]
\nPortanto
\n\\[
\n|\\{b\\in\\Z_p\\mid |b|=k\\}|=\\varphi(k).
\n\\]<\/p>\n

O argumento at\u00e9 agora implica que a seguinte afirma\u00e7\u00e3o est\u00e1 verdadeira em $\\Z_p$: Se $\\Z_p$ possui um elemento de ordem $k$, ent\u00e3o $\\Z_p$ possui $\\varphi(k)$ elementos de ordem $k$.<\/em><\/p>\n

Para $k\\mid p-1$, seja $\\psi(k)$ o n\u00famero de elementos de ordem $k$ em $\\Z_p$. Pela afirma\u00e7\u00e3o em it\u00e1lico, $\\psi(k)\\leq \\varphi(k)$. Por outro lado, usando o exerc\u00edcio acima,
\n\\[
\np-1=|\\Z_p\\setminus\\{\\overline 0\\}|=\\sum_{k\\in\\N,\\ k\\mid p-1}\\psi(k)\\leq \\sum_{k\\in\\N,\\ k\\mid p-1}\\varphi(k)=p-1.
\n\\]
\nIsso implica que a desigualdade no meio precisa ser igualdade e tamb\u00e9m que $\\psi(k)=\\varphi(k)$ para todo $k\\mid p-1$. Em particular $\\psi(p-1)=\\varphi(p-1)$ e $\\Z_p$ cont\u00e9m $\\varphi(p-1) > 0$ elementos de ordem $p-1$.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina n\u00f3s vamos provar o Teorema dos Elementos Primitivos que enunciamos no segundo bloco da disciplina sem demonstra\u00e7\u00e3o. Seja $n\\in\\N$. Mostre que \\[ \\sum_{k\\in\\N,\\ k\\mid n}\\varphi(k)=n. \\] Se $p\\in\\N$ for um primo, ent\u00e3o $\\Z_p$ possui um elemento primitivo (ou seja, um elemento de ordem $p-1$). Seja $a\\in\\Z_p$ de ordem $k$. Isso quer dizer que … Continue reading Elementos primitivos: A demonstra\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1634"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1634"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1634\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2007,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1634\/revisions\/2007"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1634"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}