{"id":1630,"date":"2022-01-24T16:28:38","date_gmt":"2022-01-24T19:28:38","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1630"},"modified":"2023-01-06T14:51:56","modified_gmt":"2023-01-06T17:51:56","slug":"o-teorema-da-fatoracao-para-polinomios","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/o-teorema-da-fatoracao-para-polinomios\/","title":{"rendered":"O Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios"},"content":{"rendered":"
\n
\nSeja $\\F$ um corpo e seja $f(x)\\in\\F[x]$ de grau maior ou igual a $1$. Ent\u00e3o $f(x)$ pode ser escrito na forma
\n\\[
\nf(x)=\\alpha q_1(x)\\cdots q_k(x)
\n\\]
\nonde $\\alpha\\in\\F\\setminus\\{0\\}$ e os $q_i(x)\\in\\F[x]$ s\u00e3o polin\u00f4mios irredut\u00edveis e m\u00f4nicos. Al\u00e9m disso, esta fatora\u00e7\u00e3o de $f(x)$ \u00e9 \u00fanica a menos da ordem dos fatores.<\/div>\n

Primeiro n\u00f3s provaremos um lema que pode ser considerado como an\u00e1logo de um resultado que j\u00e1 provamos para n\u00fameros inteiros.<\/p>\n

\nSeja $f(x)\\in\\F[x]$ um polin\u00f4mio irredut\u00edvel e $g(x),h(x)\\in\\F[x]$ tal que $f(x)\\mid g(x)h(x)$. Ent\u00e3o $f(x)\\mid g(x)$ ou $f(x)\\mid h(x)$.<\/div>\n
\nAssuma que $f(x)\\nmid g(x)$. Precisamos provar que $f(x)\\mid h(x)$. Ent\u00e3o $\\mdc{f(x)}{g(x)}=1$ e existem $u(x),v(x)\\in\\F[x]$ tais que
\n\\[
\nu(x)f(x)+v(x)g(x)=1.
\n\\]
\nMultiplicando a equa\u00e7\u00e3o anterior por $h(x)$ temos que
\n\\[
\nu(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x).
\n\\]
\nNote que $f(x)$ divide as duas parcelas no lado esquerdo da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o, logo $f(x)$ precisa dividir $h(x)$ e \u00e9 isso que precisamos provar.<\/div>\n
(O Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o)
\nExist\u00eancia:<\/strong> Vamos provar a exist\u00eancia por indu\u00e7\u00e3o em $\\grau{f(x)}$. Se $\\grau{f(x)}=1$, ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel e
\n\\[
\nf(x)=\\alpha f_0(x)
\n\\]
\nonde $\\alpha\\in\\F\\setminus\\{0\\}$ \u00e9 o coeficiente l\u00edder de $f(x)$ e $f_0(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel e m\u00f4nico.<\/p>\n

Assumamos que a afirma\u00e7\u00e3o da exist\u00eancia do teorema est\u00e1 v\u00e1lida para polin\u00f4mios de grau menor ou igual a $k-1\\geq 1$ e seja $f(x)$ um polin\u00f4mio de grau $k$. Se $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel, ent\u00e3o
\n\\[
\nf(x)=\\alpha f_0(x)
\n\\]
\nonde $\\alpha\\in\\F\\setminus\\{0\\}$ \u00e9 o coeficiente l\u00edder de $f(x)$ \u00e9 $f_0(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel e m\u00f4nico e $f(x)$ pode ser fatorado. Se $f(x)$ n\u00e3o \u00e9 irredut\u00edvel, ent\u00e3o $f(x)=f_1(x)f_2(x)$ onde $f_1(x),f_2(x)\\in\\F[x]$ e $\\grau{f_i(x)}\\geq 1$. Pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o,
\n\\begin{align*}
\nf_1(x)&=\\alpha_1 q_1(x)\\cdots q_k(x)\\\\
\nf_2(x)&=\\alpha_2 q_{k+1}(x)\\cdots q_\\ell(x)
\n\\end{align*}
\nonde $\\alpha_1,\\alpha_2\\in\\F[x]\\setminus\\{0\\}$ e os $q_i(x)$ s\u00e3o m\u00f4nicos e irredut\u00edveis. Ora,
\n\\[
\nf(x)=f_1(x)f_2(x)=(\\alpha_1\\alpha_2) q_1(x)\\cdots q_k(x)q_{k+1}(x)\\cdots q_\\ell.
\n\\]<\/p>\n

Unicidade.<\/strong> Demonstremos agora a unicidade por indu\u00e7\u00e3o sobre o n\u00famero minimal de fatores. Assuma que $f(x)\\in\\F[x]$ tem apenas um fator; ou seja $f(x)=\\alpha f_0(x)$ onde $\\alpha\\in\\F\\setminus\\{0\\}$ e $f_0(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel e m\u00f4nico. Ent\u00e3o $f(x)$ tamb\u00e9m \u00e9 irredit\u00favel e qualquer outra fatora\u00e7\u00e3o tem tamb\u00e9m um \u00fanico fator e tem a forma $f(x)=\\beta f_1(x)$ onde $f_1(x)$ \u00e9 m\u00f4nico e irredut\u00edvel. Agora $f_0(x)\\mid f_1(x)$ e $f_1(x)\\mid f_0(x)$. Como estes dois s\u00e3o m\u00f4nicos temos que $f_0(x)=f_1(x)$. A igualdade $\\alpha=\\beta$ segue do fato que os dois s\u00e3o iguais ao coeficiente l\u00edder de $f(x)$.<\/p>\n

Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o da unicidade est\u00e1 v\u00e1lida para polin\u00f4mios que podem ser escritos com $k-1$ fatores. Assuma que
\n\\[
\nf(x)=\\beta_1q_1(x)\\cdots q_k(x)=\\beta_2r_1(x)\\ldots r_m(x)
\n\\]
\nonde $m\\geq k$, $\\beta_1,\\beta_2\\in\\F\\setminus\\{0\\}$ e os $q_i(x)$ e $r_j(x)$ s\u00e3o m\u00f4nicos e irredut\u00edveis. Agora
\n\\[
\nq_1(x)\\mid f(x)=\\beta_2r_1(x)\\ldots r_m(x)
\n\\]
\ne pelo lema no in\u00edcio desta p\u00e1gina $q_1(x)\\mid r_j(x)$ com algum $j$. Como $q_1(x)$ e $r_j(x)$ s\u00e3o m\u00f4nicos e irredut\u00edveis segue que $q_1(x)=r_j(x)$. Assuma sem perder a generalidade que $q_1(x)=r_1(x)$. Ent\u00e3o
\n\\[
\nf(x)=\\beta_1q_1(x)q_2(x)\\cdots q_k(x)=\\beta_2q_1(x)r_2(x)\\ldots r_m(x).
\n\\]
\nComo $\\F[x]$ \u00e9 um dom\u00ednio, a lei cancelativa aplica-se e obtemos que
\n\\[
\n\\beta_1q_2(x)\\cdots q_k(x)=\\beta_2r_2(x)\\ldots r_m(x).
\n\\]
\nAgora a hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o implica que $k=m$ e que os fatores $q_2(x),\\ldots,q_k(x)$ e $r_2(x),\\ldots,r_m(x)$ s\u00e3o os mesmos exceto possivelmente a sua ordem. Portanto os fatores $q_1(x),\\ldots,q_k(x)$ e $r_1(x),\\ldots,r_m(x)$ s\u00e3o os mesmos exceto possivelmente a sua ordem. O fato que $\\beta_1=\\beta_2$ segue, pois os dois s\u00e3o iguais ao coeficiente l\u00edder de $f(x)$.<\/p>\n<\/div>\n

\nSeja $f(x)\\in\\C[x]$ um polin\u00f4mio de grau maior ou igual a um. Seja
\n\\[
\nf(x)=\\beta_n x^n+\\cdots+\\beta_1x+\\beta_0
\n\\]
\ncom $\\beta_n\\neq 0$. Ent\u00e3o $f(x)=\\beta_n f_0(x)$ onde $f_0(x)\\in\\C[x]$ \u00e9 um polin\u00f4mio m\u00f4nico. Pelo teorema demonstrado na semana passada,
\n\\[
\nf_0(x)=\\prod_{i=1}^n(x-\\alpha_i)
\n\\]
\nonde os $\\alpha_i$ s\u00e3o as ra\u00edzes de $f_0(x)$ (e assim tamb\u00e9m as ra\u00edzes de $f(x)$) contando com multiplicidade. Ora, a fatora\u00e7\u00e3o de $f(x)$ em produto de irredut\u00edveis \u00e9
\n\\[
\nf(x)=\\beta_n\\prod_{i=1}^n(x-\\alpha_i).
\n\\]<\/div>\n
\nAgora, seja $f(x)\\in\\R[x]$ um polin\u00f4mio de grau maior ou igual a um. Seja
\n\\[
\nf(x)=\\beta_n x^n+\\cdots+\\beta_1x+\\beta_0
\n\\]
\ncom $\\beta_i\\in\\R$ e $\\beta_n\\neq 0$. Como acima, $f(x)=\\beta_n f_0(x)$ onde $f_0(x)\\in\\R[x]$ \u00e9 um polin\u00f4mio m\u00f4nico. Pelo teorema demonstrado na semana passada sobre polin\u00f4mios em $\\R[x]$,
\n\\[
\nf_0(x)=\\prod_{i=1}^s(x-\\alpha_i)\\prod_{j=1}^r(x^2+\\gamma_jx+\\delta_j)
\n\\]
\nonde $\\alpha_i,\\gamma_j,\\delta_j\\in\\R$ e $\\gamma_j^2-4\\delta_j < 0$ para todo $j\\geq 1$. Os fatores na fatora\u00e7\u00e3o na equa\u00e7\u00e3o anterior podem ser determinados usando as ra\u00edzes de $f(x)$. De fato, as ra\u00edzes de $f(x)$ (contando com multiplicidade) s\u00e3o
\n\\[
\n\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_s,\\alpha_{s+1},\\overline{\\alpha_{s+1}},\\ldots,\\alpha_{s+r},\\overline{\\alpha_{s+r}}
\n\\]
\nonde $n=s+2r$ e $\\alpha_i\\in\\R$ se e somente se $i\\in\\{1,\\ldots,s\\}$. A fatora\u00e7\u00e3o de $f_0(x)$ pode ser escrita como
\n\\[
\nf_0(x)=\\prod_{i=1}^s(x-\\alpha_i)\\prod_{j={s+1}}^{s+r}(x^2-(\\alpha_j+\\overline{\\alpha_j})x+\\alpha_j\\cdot\\overline{\\alpha_j}).
\n\\]
\nConsequentemente a fatora\u00e7\u00e3o de $f(x)$ \u00e9
\n\\[
\nf(x)=\\beta_n\\prod_{i=1}^s(x-\\alpha_i)\\prod_{j={s+1}}^{s+r}(x^2-(\\alpha_j+\\overline{\\alpha_j})x+\\alpha_j\\cdot\\overline{\\alpha_j}).
\n\\]<\/div>\n
\nNo terceiro exemplo considere
\n\\[
\nf(x)=x^5 – 2x^3 + x^2 + x – 1\\in\\Q[x].
\n\\]
\nD\u00e1 para verificar que $\\alpha_1=1$ e $\\alpha_2=-1$ s\u00e3o ra\u00edzes de $f(x)$ e assim $f(x)$ \u00e9 divis\u00edvel por $(x-1)(x+1)=x^2-1$. Calculando o quociente, obtemos que
\n\\[
\nf(x)=(x-1)(x+1)(x^3-x+1).
\n\\]
\nO Teorema das Ra\u00edzes Racionais implica que $x^3-x+1$ n\u00e3o possui ra\u00edzes em $\\Q$ e (sendo um polin\u00f4mio de grau $3$) \u00e9 irredut\u00edvel. Ent\u00e3o a fatora\u00e7\u00e3o de $f(x)$ \u00e9
\n\\[
\nf(x)=x^5 – 2x^3 + x^2 + x – 1=(x-1)(x+1)(x^3-x+1)
\n\\]<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seja $\\F$ um corpo e seja $f(x)\\in\\F[x]$ de grau maior ou igual a $1$. Ent\u00e3o $f(x)$ pode ser escrito na forma \\[ f(x)=\\alpha q_1(x)\\cdots q_k(x) \\] onde $\\alpha\\in\\F\\setminus\\{0\\}$ e os $q_i(x)\\in\\F[x]$ s\u00e3o polin\u00f4mios irredut\u00edveis e m\u00f4nicos. Al\u00e9m disso, esta fatora\u00e7\u00e3o de $f(x)$ \u00e9 \u00fanica a menos da ordem dos fatores. Primeiro n\u00f3s provaremos um lema … Continue reading O Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1630"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1630"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1630\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2009,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1630\/revisions\/2009"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1630"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}