{"id":1619,"date":"2022-01-23T10:32:00","date_gmt":"2022-01-23T13:32:00","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1619"},"modified":"2023-01-06T14:51:45","modified_gmt":"2023-01-06T17:51:45","slug":"polinomios-irredutiveis","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/polinomios-irredutiveis\/","title":{"rendered":"Polin\u00f4mios irredut\u00edveis"},"content":{"rendered":"
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\nSeja $R$ um dom\u00ednio e seja $a\\in R$ tal que $a\\neq 0$ e $a$ n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel (em $R$). O elemento $a$ \u00e9 dito redut\u00edvel<\/strong> se existem $b,c\\in R$ tal que $a=bc$ e nem $b$ nem $c$ \u00e9 invert\u00edvel. Caso contr\u00e1rio, o elemento $a$ \u00e9 dito irredut\u00edvel<\/strong>. O elemento $0\\in R$ e os elementos invert\u00edveis de $R$ n\u00e3o s\u00e3o nem redut\u00edveis nem irredut\u00edveis.<\/div>\n
\nSeja $R=\\Z$. Neste caso os invert\u00edveis de $\\Z$ s\u00e3o $1$ e $-1$ e um elemento $a\\in \\Z$ \u00e9 irredut\u00edvel se e somente se $a$ n\u00e3o pode ser escrito como $a=bc$ com $b,c\\not\\in\\{1,-1\\}$. Ou seja, os elemento irredut\u00edveis de $\\Z$ s\u00e3o os inteiros primos, enquanto os redut\u00edveis s\u00e3o os compostos.<\/div>\n
\nSeja $a\\in R$ e seja $u\\in R$ invert\u00edvel. Mostre que $a$ \u00e9 irredut\u00edvel se e somente se $ua$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/div>\n
\nAs seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras para um polin\u00f4mio $f(x)\\in\\F[x]$ onde $\\F$ \u00e9 um corpo.<\/p>\n
    \n
  1. Seja $\\alpha\\in\\F\\setminus\\{0\\}$. Temos que $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel se e somente se $\\alpha f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/li>\n
  2. Se $\\grau{f(x)}=1$ ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/li>\n
  3. Se $\\grau{f(x)} > 1$ e $f(x)$ possui raiz em $\\F$ ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel.<\/li>\n
  4. Se $\\grau{f(x)} \\in\\{2,3\\}$ ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel se e somente se $f(x)$ possui raiz em $\\F$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n(1) Segue do exerc\u00edcio anterior notando que $\\alpha$ \u00e9 invert\u00edvel em $\\F[x]$.<\/p>\n

    (2) Assuma que $f(x)\\in\\F[x]$ do primeiro grau e escreva $f(x)=g(x)h(x)$ com $g(x),h(x)\\in\\F[x]$. Temos pelas propriedades do grau que
    \n\\[
    \n1=\\grau{f(x)}=\\grau{g(x)h(x)}=\\grau{g(x)}+\\grau{h(x)}
    \n\\]
    \ne assim $\\grau{g(x)}=0$ ou $\\grau{h(x)}=0$. Logo um dos polin\u00f4mios de $g(x)$ ou $h(x)$ \u00e9 escalar n\u00e3o nulo. Como tais polin\u00f4mios de $\\F[x]$ s\u00e3o invert\u00edveis, temos que $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/p>\n

    (3) Se $\\grau{f(x)} > 1$ e $\\alpha\\in\\F$ \u00e9 raiz de $f(x)$, ent\u00e3o $x-\\alpha\\mid f(x)$ e $f(x)=(x-\\alpha)g(x)$ com $g(x)\\in\\F[x]$. Ademais, $\\grau{g(x)}=\\grau{f(x)}-1\\geq 1$ e assim $f(x)$ pode ser fatorado como um produto de dois polin\u00f4mios em tal forma que nenhum dos fatores \u00e9 invert\u00edvel. Portanto $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel.<\/p>\n

    (4) Assuma que $\\grau{f(x)}\\in\\{2,3\\}$. Se $f(x)$ possui raiz, ent\u00e3o ele \u00e9 redut\u00edvel pelo tericeiro item. Vice versa, se $f(x)$ \u00e9 redut\u00edvel, ent\u00e3o $f(x)=g(x)h(x)$. Considerando que $f(x)$ tem grau dois ou tr\u00eas, temos que ou $g(x)$ ou $h(x)$ tem grau $1$. Assim $f(x)$ \u00e9 divis\u00edvel por um polin\u00f4mio na forma $\\alpha x+\\beta$ com $\\alpha\\neq 0$ e assim $-\\beta\/\\alpha$ \u00e9 raiz de $f(x)$.<\/p>\n<\/div>\n

    (O Teorema das Ra\u00edzes Racionais)
    \nSeja $f(x)=\\alpha_n x^n+\\alpha_{n-1}x^{n-1}+\\cdots+\\alpha_1x+\\alpha_0\\in\\Z[x]$ e assuma que $\\alpha\/\\beta\\in\\Q$ tal que $\\mdc{\\alpha}\\beta=1$ \u00e9 uma raiz de $f(x)$. Mostre que $\\alpha\\mid \\alpha_0$ e $\\beta\\mid \\alpha_n$.<\/div>\n
    \n