{"id":1590,"date":"2022-01-16T21:48:15","date_gmt":"2022-01-17T00:48:15","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1590"},"modified":"2023-01-06T14:51:16","modified_gmt":"2023-01-06T17:51:16","slug":"raizes-e-divisibilidade","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/raizes-e-divisibilidade\/","title":{"rendered":"Ra\u00edzes e divisibilidade"},"content":{"rendered":"
\nSeja $\\F$ um corpo. Lembre que $\\alpha\\in\\F$ \u00e9 raiz de um polin\u00f4mio $f(x)\\in\\F[x]$ se $f(\\alpha)=0$.<\/p>\n
\nSeja $f(x)\\in\\F[x]\\setminus\\{0\\}$ um polin\u00f4mio e $\\alpha\\in\\F$. Ent\u00e3o existe um polin\u00f4mio $q(x)\\in\\F[x]$ tal que
\n\\[
\nf(x)=q(x)(x-\\alpha)+f(\\alpha).
\n\\]
\nEm particular, $x-\\alpha\\mid f(x)$ se e somente se $f(\\alpha)=0$ (ou seja, $\\alpha$ \u00e9 raiz do polin\u00f4mio $f(x)$).<\/div>\n
\nUse o Teorema de Divis\u00e3o de Euclides para escrever
\n\\[
\nf(x)=q(x)(x-\\alpha)+\\beta
\n\\]
\ncom $\\beta\\in\\F$. Substituindo $\\alpha$ na equa\u00e7\u00e3o anterior, obtemos que
\n\\[
\nf(\\alpha)=\\beta.
\n\\]
\nPara provar a segunda afirma\u00e7\u00e3o, observe que $\\alpha$ \u00e9 raiz do polin\u00f4mio $f(x)$ se e somente se $f(\\alpha)=0$ e isso vale se e somente se $f(x)=q(x)(x-\\alpha)$ com algum $q(x)\\in\\F[x]$. Esta \u00faltima afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 equivalente a dizer que $x-\\alpha\\mid f(x)$.<\/div>\n
\nSeja $f(x)\\in\\F[x]\\setminus\\{0\\}$ um polin\u00f4mio. O n\u00famero das ra\u00edzes de $f(x)$ em $\\F$ \u00e9 menor ou igual a $\\grau{f(x)}$.<\/div>\n
\nFazemos indu\u00e7\u00e3o pelo $\\grau{f(x)}$. Se $\\grau{f(x)}=0$, ent\u00e3o $f(x)=\\alpha$ com $\\alpha\\in\\F\\setminus\\{0\\}$ e $f(x)$ n\u00e3o possui ra\u00edzes em $\\F$ e assim a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira. Assuma que um polin\u00f4mio de $\\F[x]$ de grau $k-1$ possui no m\u00e1ximo $k-1$ ra\u00edzes em $\\F$ e seja $f(x)\\in\\F[x]$ com grau $k$. Se $f(x)$ n\u00e3o possui ra\u00edzes em $\\F$ ent\u00e3o a afirma\u00e7\u00e3o do corol\u00e1rio \u00e9 verdadeira para $f(x)$. Assuma que $\\alpha\\in\\F$ \u00e9 raiz de $f(x)$. Ent\u00e3o $f(x)=(x-\\alpha)g(x)$ com $\\grau{g(x)}=k-1$. Se $\\beta\\in\\F\\setminus\\{\\alpha\\}$ \u00e9 raiz de $f(x)$, ent\u00e3o
\n\\[
\n0=f(\\beta)=(\\beta-\\alpha)g(\\beta)
\n\\]
\ne, como $\\beta-\\alpha\\neq 0$, $g(\\beta)=0$. Logo $\\beta$ precisa ser raiz de $g(x)$. Obtemos assim que as raizes de $f(x)$ s\u00e3o $\\alpha$ e as ra\u00edzes de $g(x)$. Pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, $g(x)$ tem no m\u00e1ximo $k-1$ ra\u00edzes, portanto $f(x)$ tem no m\u00e1ximo $k$ ra\u00edzes.<\/div>\n
(O Teorema fundamental da \u00c1lgebra)
\nSeja $f(x)\\in\\C[x]$ um polin\u00f4mio de grau maior ou igual a $1$. Ent\u00e3o $f(x)$ possui raiz em $\\C$.<\/div>\n
\nSeja $f(x)\\in\\C[x]$ um polin\u00f4mio m\u00f4nico de grau $k\\geq 1$. Ent\u00e3o existem $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k\\in\\C$ tais que
\n\\[
\nf(x)=(x-\\alpha_1)(x-\\alpha_2)\\cdots(x-\\alpha_k).
\n\\]<\/div>\n
\nVamos fazer indu\u00e7\u00e3o em $k$. Se $k=1$, ent\u00e3o $f(x)=x-\\alpha$ ($f(x)$ \u00e9 m\u00f4nico), ent\u00e3o a afirma\u00e7\u00e3o est\u00e1 verdadeira. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o est\u00e1 v\u00e1lida para polin\u00f4mios de grau menor que $k$ e seja $\\grau{f(x)}=k$. Pelo Teorema Fundamental da \u00c1lgebra, $f(x)$ possui raiz $\\alpha_k\\in\\C$ e assim $x-\\alpha_k\\mid f(x)$ pelo lema anterior. Escreva
\n\\[
\nf(x)=(x-\\alpha_k)q(x)
\n\\]
\ne note que $q(x)$ \u00e9 m\u00f4nico e $\\grau{q(x)}=k-1$. Pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o, existem $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_{k-1}\\in\\C$ tais que
\n\\[
\nq(x)=(x-\\alpha_1)\\cdots (x-\\alpha_{k-1}).
\n\\]
\nPortanto
\n\\[
\nf(x)=q(x)(x-\\alpha_k)=(x-\\alpha_1)\\cdots(x-\\alpha_{k-1})(x-\\alpha_k).
\n\\]<\/div>\n

Na decomposi\u00e7\u00e3o dada pelo teorema anterior os escalares $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k$ s\u00e3o as ra\u00edzes complexas de $f(x)$ contadas com multiplicidade. Isso quer dizer que uma raiz pode ocorrer v\u00e1rias vezes nesta lista.<\/p>\n

\nConsidere o polin\u00f4mio
\n\\[
\nf(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\\cdots+x+1\\in\\C[x]
\n\\]
\ncom $n\\geq 2$. Note que $x^n-1=(x-1)f(x)$ e assim as ra\u00edzes de $f(x)$ s\u00e3o os n\u00fameros $\\alpha\\in\\C\\setminus\\{1\\}$ tais que $\\alpha^n=1$. Estes n\u00fameros s\u00e3o $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_{n-1}$ onde
\n\\[
\n\\alpha_k=\\exp(2k\\pi i\/n)=\\cos(2k\\pi\/n)+i\\,\\mbox{sen}(2k\\pi\/n).
\n\\]
\nAssim
\n\\begin{align*}
\nf(x)&=x^{n-1}+x^{n-2}+\\cdots+x+1\\\\
\n&=\\prod_{k=1}^{n-1}(x-\\alpha_k)\\\\
\n&=\\prod_{k=1}^{n-1}(x-\\exp(2k\\pi i\/n))\\\\
\n&=\\prod_{k=1}^{n-1}(x-\\cos(2k\\pi\/n)-i\\,\\mbox{sen}(2k\\pi\/n))
\n\\end{align*}<\/div>\n

Lembre que se $z=a+bi\\in\\C$, ent\u00e3o o conjugado complexo<\/strong> $\\overline z$ de $z$ est\u00e1 definido como
\n\\[
\n\\overline z=a-bi.
\n\\]<\/p>\n

\nDemonstre para $z_1,z_2\\in\\C$ que<\/p>\n
    \n
  • $\\overline{z_1+z_2}=\\overline{z_1}+\\overline{z_2}$;<\/li>\n
  • $\\overline{z_1z_2}=\\overline{z_1}\\cdot\\overline{z_2}$;<\/li>\n
  • $\\overline{z_1}=z_1$ se e somente se $z_1\\in\\R$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
    \nSeja $f(x)\\in\\R[x]$ e seja $\\alpha\\in\\C$. Se $\\alpha$ raiz de $f(x)$, ent\u00e3o $\\overline\\alpha$ tamb\u00e9m \u00e9.<\/div>\n
    \nSeja
    \n\\[
    \nf(x)=\\alpha_nx^n+\\cdots+\\alpha_1x+\\alpha_0
    \n\\]
    \ne assuma que $\\alpha\\in\\C$ tal que $f(\\alpha)=0$. Ent\u00e3o, usando o exerc\u00edcio anterior, obtemos que
    \n\\begin{align*}
    \n0&=\\overline 0=\\overline{f(\\alpha)}=\\overline{\\alpha_n\\alpha^n+\\cdots+\\alpha_1\\alpha+\\alpha_0}\\\\&=
    \n\\alpha_n\\overline \\alpha^n+\\cdots+\\alpha_1\\overline \\alpha+\\alpha_0.
    \n\\end{align*}
    \nLogo $f(\\overline\\alpha)=0$.<\/div>\n

    Seja $f(x)=x^2+\\alpha x+\\beta\\in\\R[x]$. Lembre que o discriminante<\/strong> $\\Delta$ de $f(x)$ \u00e9 definido como $\\Delta=\\alpha^2-4\\beta$. Ademais, $f(x)$ possui duas ra\u00edzes distintas em $\\R$ se $\\Delta > 0$, $f(x)$ possui uma \u00fanica raiz em $\\R$ se $\\Delta=0$ e $f(x)$ n\u00e3o possui ra\u00edzes em $\\R$ se $\\Delta < 0$.<\/p>\n

    \nSeja $f(x)\\in\\R[x]$ um polin\u00f4mio m\u00f4nico de grau $k\\geq 1$. Ent\u00e3o $f(x)$ pode ser escrito na forma
    \n\\[
    \nf(x)=(x-\\alpha_1)\\cdots (x-\\alpha_s)(x^2+\\beta_1x+\\gamma_1)\\cdots (x^2+\\beta_rx+\\gamma_r)
    \n\\]
    \nonde $s+2r=k$, $\\alpha_i,\\beta_j,\\gamma_\\ell\\in\\R$ com $\\beta_i^2-4\\gamma_i < 0$ para todo $i\\in\\{1,\\ldots,r\\}$.<\/div>\n
    \nUsaremos indu\u00e7\u00e3o por $k$. Se $k=1$, ent\u00e3o $f(x)=x-\\alpha$ com algum $\\alpha\\in\\R$ e o resultado est\u00e1 v\u00e1lido.
    \nAssuma que o teorema est\u00e1 verdadeiro para polin\u00f4mios $f(x)\\in\\F[x]$ com $\\grau{f(x)} < k$ e seja $f(x)\\in\\R[x]$ um polin\u00f4mio de grau $k$. Pelo Teorema Fundamental da \u00c1lgebra, existe $\\alpha\\in\\C$ tal que $f(\\alpha)=0$.<\/p>\n

    Se $\\alpha\\in\\R$, ent\u00e3o $x-\\alpha\\mid f(x)$ e $f(x)=(x-\\alpha)q(x)$ com $q(x)\\in\\R[x]$ m\u00f4nico e $\\grau{q(x)}=k-1$. Pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o,
    \n\\[
    \nq(x)=(x-\\alpha_1)\\cdots (x-\\alpha_s)(x^2+\\beta_1x+\\gamma_1)\\cdots (x^2+\\beta_rx+\\gamma_r)
    \n\\]
    \ncom $s+2r=k-1$ e $\\beta_i^2-4\\gamma_i < 0$ para todo $i$.
    \nAssim
    \n\\begin{align*}
    \nf(x)&=(x-\\alpha)q(x)\\\\&=(x-\\alpha)(x-\\alpha_1)\\cdots(x-\\alpha_s)(x^2+\\beta_1x+\\gamma_1)\\cdots (x^2+\\beta_rx+\\gamma_r).
    \n\\end{align*}
    \ncom $\\alpha_i,\\beta_j,\\gamma_\\ell\\in\\R$ e $\\beta_i^2-4\\gamma_i < 0$ para todo $i$.<\/p>\n

    Se $\\alpha\\not\\in\\R$, ent\u00e3o $f(\\overline\\alpha)=0$ e
    \n\\[
    \n(x-\\alpha)(x-\\overline\\alpha)\\mid f(x).
    \n\\]
    \nNote que
    \n\\[
    \n(x-\\alpha)(x-\\overline\\alpha)=x^2-(\\alpha+\\overline\\alpha)x+\\alpha\\overline\\alpha\\in\\R[x],
    \n\\]
    \npois se $\\alpha=a+bi$, ent\u00e3o $\\overline\\alpha=a-bi$ e assim
    \n\\begin{align*}
    \n\\alpha+\\overline\\alpha&=2a\\in\\R\\\\
    \n\\alpha\\overline\\alpha&=a^2+b^2\\in\\R.
    \n\\end{align*}
    \nPortanto
    \n\\[
    \n(x-\\alpha)(x-\\overline\\alpha)=x^2+\\beta+\\gamma\\in\\R[x]
    \n\\]
    \ncom
    \n\\begin{align*}
    \n\\beta&=-\\alpha-\\overline{\\alpha}=-2a; \\\\
    \n\\gamma&=\\alpha\\cdot\\overline{\\alpha}=a^2+b^2
    \n\\end{align*}
    \n\u00e9 um polin\u00f4mio sem ra\u00edzes em $\\R$ e assim $\\beta^2-4\\gamma < 0$.
    \nEscreva $f(x)=(x^2+\\beta+\\gamma)q(x)$ com $q(x)\\in\\R[x]$ m\u00f4nico e $\\grau{g(x)}=k-2$. Pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o,
    \n\\[
    \nq(x)=(x-\\alpha_1)\\cdots (x-\\alpha_s)(x^2+\\beta_1x+\\gamma_1)\\cdots (x^2+\\beta_rx+\\gamma_r)
    \n\\]
    \ncom $\\alpha_i,\\beta_i,\\gamma_i\\in\\R$, $k-2=s+2r$ e $\\beta_i^2-4\\gamma_i < 0 $ para todo $i\\geq 1$. Ora,
    \n\\[
    \nf(x)=(x-\\alpha_1)\\cdots (x-\\alpha_s)(x^2+\\beta_1x+\\gamma_1)\\cdots (x^2+\\beta_rx+\\gamma_r)(x^2+\\beta x+\\gamma)
    \n\\]
    \ncomo foi afirmado.<\/p>\n<\/div>\n

    Na decomposi\u00e7\u00e3o dada pelo teorema anterior os escalares $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_s$ s\u00e3o as ra\u00edzes reais de $f(x)$ contadas com multiplicidade. Isso quer dizer que uma raiz pode ocorrer v\u00e1rias vezes nesta lista. No caso de polin\u00f4mios sobre $\\R$, o n\u00famero das ra\u00edzes de $f(x)$ pode ser menor que $\\grau{f(x)}$.<\/p>\n

    \nConsidere o polin\u00f4mio
    \n\\[
    \nf(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\\cdots+x+1\\in\\R[x]
    \n\\]
    \ncom $n\\geq 2$. No exemplo anterior determinamos as ra\u00edzes complexas de $f(x)$. Se $n$ for par, ent\u00e3o $f(x)$ possui uma \u00fanica raiz real, nomeadamente o $-1$, enquanto se $n$ for \u00edmpar, ent\u00e3o $f(x)$ n\u00e3o possui raiz real. Denotando por $\\alpha_k$ a $k$-\u00e9sima raiz complexa de $f(x)$ como no exemplo anterior, temos, para $k\\leq n\/2$ que
    \n\\[
    \n\\overline{\\alpha_k}=\\alpha_{n-k}.
    \n\\]
    \nPara $k\\leq n\/2$, seja
    \n\\[
    \n\\beta_k=-\\alpha_k-\\overline{\\alpha_k}=-2\\cos(2k\\pi \/n)
    \n\\]
    \ne note que
    \n\\[
    \n\\alpha_k\\cdot \\overline{\\alpha_k}=\\cos^2(2k\\pi \/n)+\\mbox{sen}^2(2k\\pi \/n)=1.
    \n\\]
    \nAssim obtemos a seguinte decomposi\u00e7\u00e3o. Se $n$ for par,
    \n\\begin{align*}
    \nf(x)&=(x+1)\\prod_{k=1}^{(n-2)\/2}(x^2+\\beta_kx+1)\\\\&=(x+1)\\prod_{i=1}^{(n-2)\/2}(x^2-2\\cos(2k\\pi\/n)x+1);
    \n\\end{align*}
    \nse $n$ for \u00edmpar, ent\u00e3o
    \n\\begin{align*}
    \nf(x)&=\\prod_{k=1}^{(n-1)\/2}(x^2+\\beta_kx+1)\\\\&=\\prod_{i=1}^{(n-1)\/2}(x^2-2\\cos(2k\\pi\/n)x+1).
    \n\\end{align*}<\/div>\n
    \nUm polin\u00f4mio $f(x)\\in\\R[x]$ de grau \u00edmpar possui raiz em $\\R$.<\/div>\n
    \nSe $\\grau{f(x)}$ \u00e9 impar, ent\u00e3o a sua decomposi\u00e7\u00e3o dada pelo teorema anterior possui pelo menos um fator na forma $x-\\alpha$ com $\\alpha\\in\\R$ e assim $\\alpha$ \u00e9 raiz de $f(x)$.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $\\F$ um corpo. Lembre que $\\alpha\\in\\F$ \u00e9 raiz de um polin\u00f4mio $f(x)\\in\\F[x]$ se $f(\\alpha)=0$. Seja $f(x)\\in\\F[x]\\setminus\\{0\\}$ um polin\u00f4mio e $\\alpha\\in\\F$. Ent\u00e3o existe um polin\u00f4mio $q(x)\\in\\F[x]$ tal que \\[ f(x)=q(x)(x-\\alpha)+f(\\alpha). \\] Em particular, $x-\\alpha\\mid f(x)$ se e somente se $f(\\alpha)=0$ (ou seja, $\\alpha$ \u00e9 raiz do polin\u00f4mio $f(x)$). Use o Teorema de Divis\u00e3o de Euclides … Continue reading Ra\u00edzes e divisibilidade<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1590"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1590"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1590\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2006,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1590\/revisions\/2006"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1590"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}