{"id":1577,"date":"2022-01-16T12:31:23","date_gmt":"2022-01-16T15:31:23","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1577"},"modified":"2023-01-06T14:50:51","modified_gmt":"2023-01-06T17:50:51","slug":"o-teorema-de-divisao-para-polinomios","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/o-teorema-de-divisao-para-polinomios\/","title":{"rendered":"O Teorema de Divis\u00e3o para polin\u00f4mios"},"content":{"rendered":"
\n
\nConsidere $f(x)=x^3-2x^2+x-1$ e $g(x)=x^2-1$ como polin\u00f4mios em $\\Q[x]$. Usando o m\u00e9todo bem conhecido do ensino m\u00e9dio, pode-se calcular o quociente de $f(x)$ por $g(x)$ e o resto:
\n\\begin{align*}
\n&x^3-2x^2+x-1 : x^2-1 = x-2\\\\
\n&- [x^3-x] \\\\\\hline
\n&-2x^2+2x-1\\\\
\n-& [-2x^2+2]\\\\\\hline
\n&2x-3
\n\\end{align*}
\nObtemos que
\n\\[
\nf(x)=(x-2)g(x)+(2x-3)
\n\\]
\nPode-se dizer que o quociente de $f(x)$ por $g(x)$ \u00e9 $x-2$ e o resto de $f(x)$ por $g(x)$ \u00e9 $2x-3$.<\/div>\n

A conta que fizemos no exemplo anterior nos lembra da Teorema de Divis\u00e3o de Euclides que enunciamos na primeira parte da disciplina para n\u00fameros inteiros. De fato, existe um teorema an\u00e1logo para polin\u00f4mios que vamos enunciar e provar nesta p\u00e1gina.<\/p>\n

(Teorema de Divis\u00e3o de Euclides para Polin\u00f4mios)
\nSeja $\\F$ um corpo (por exemplo $\\Q$, $\\R$, $\\C$, ou $\\Z_p$ com $p$ primo) e assuma que $f(x),g(x)\\in \\F[x]$ com $g(x)\\neq 0$. Ent\u00e3o existem unicamente polin\u00f4mios $q(x),r(x)\\in \\F[x]$ tais que
\n\\[
\nf(x)=q(x)g(x)+r(x)\\quad\\mbox{e}\\quad r(x)=0\\mbox{ ou }\\grau{r(x)} < \\grau{g(x)}.
\n\\]<\/div>\n
\nExist\u00eancia:<\/strong> Vamos provar a exist\u00eancia por indu\u00e7\u00e3o no grau de $f(x)$. Se $f(x)=0$, ent\u00e3o pode-se tomar $q(x)=r(x)=0$. Assuma ent\u00e3o que $f(x)\\neq 0$ e seja $k=\\grau{f(x)}$. Se $k=0$, ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 constante; por exemplo $f(x)=\\alpha$ onde $\\alpha\\in\\F$. Se $\\grau{g(x)}=0$ ent\u00e3o $g(x)=\\beta$ com $\\beta\\in \\F$ e pode tomar $q(x)=\\alpha\/\\beta$ e $r(x)=0$. Se $\\grau{g(x)} > 0$, ent\u00e3o podemos tomar $q(x)=0$ e $r(x)=f(x)=\\alpha$. \u00c9 f\u00e1cil verificar que estas escolhas para $q(x)$ e $r(x)$ satisfazem a equa\u00e7\u00e3o no teorema.<\/p>\n

Assuma agora que $k\\geq 0$ e que a afirma\u00e7\u00e3o da exist\u00eancia no teorema est\u00e1 v\u00e1lida para polin\u00f4mios $f(x),g(x)\\in\\F[x]$ com $g(x)\\neq 0$ e $\\grau{f(x)} < k$. Seja $f(x)$ um polin\u00f4mio de grau $k$. Se $\\grau{g(x)} > \\grau{f(x)}$ ent\u00e3o podemos tomar $q(x)=0$ e $r(x)=f(x)$. Assuma ent\u00e3o que $\\grau{g(x)}\\leq \\grau{f(x)}$. Assuma que
\n\\begin{align*}
\nf(x)&=\\alpha_k x^k+\\mbox{termos de menor grau};\\\\
\ng(x)&=\\beta_\\ell x^\\ell+\\mbox{termos de menor grau};
\n\\end{align*}
\ncom $\\alpha_k,\\beta_\\ell\\in\\F\\setminus\\{0\\}$. Considere
\n\\[
\nf_1(x)=f(x)-(\\alpha_k\/\\beta_\\ell)x^{k-\\ell}g(x).
\n\\]
\nTemos que $\\grau{f_1(x)} < \\grau{f(x)}$ ent\u00e3o a hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o se aplica para $f_1(x)$ e podemos escrever
\n\\[
\nf_1(x)=q_1(x)g(x)+r(x)
\n\\]
\nonde
\n$r(x)=0$ ou $\\grau{r(x)} < \\grau{g(x)}$. Ora, obtemos que
\n\\begin{align*}
\nf(x)&=f_1(x)+(\\alpha_k\/\\beta_m)x^{k-\\ell}g(x)\\\\&=q_1(x)g(x)+r(x)+(\\alpha_k\/\\beta_m)x^{k-\\ell}g(x)\\\\&=
\n(q_1(x)+(\\alpha_k\/\\beta_m)x^{k-\\ell})g(x)+r(x).
\n\\end{align*}
\nPodemos tomar ent\u00e3o $q(x)=q_1(x)+(\\alpha_k\/\\beta_m)x^{k-\\ell}$ e $r(x)$ como acima.<\/p>\n

Unicidade:<\/strong> Assuma que temos para algum $f(x),g(x)\\in\\F[x]$ com $g(x)\\neq 0$ que
\n\\[
\nf(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)
\n\\]
\ncom $r_1(x)=0$ ou $\\grau{r_1(x)} < \\grau{g(x)}$ e $r_2(x)=0$ ou $\\grau{r_2(x)} < \\grau{g(x)}$. A equa\u00e7\u00e3o acima implica que
\n\\[
\n(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_2(x)-r_1(x).
\n\\]
\nO lado esquerdo desta equa\u00e7\u00e3o \u00e9 um polin\u00f4mio que ou \u00e9 igual a zero ou seu grau \u00e9 maior ou igual a grau de $g(x)$. No lado direito, temos um polin\u00f4mio que \u00e9 ou zero ou seu grau \u00e9 menor que o grau de $g(x)$. Isso \u00e9 poss\u00edvel apenas quando os polin\u00f4mios nos dois lados da equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o iguais a zero. Ou seja,
\n\\[
\n(q_1(x)-q_2(x))g(x)=0.
\n\\]
\nComo $\\F[x]$ \u00e9 um dom\u00ednio e $g(x)\\neq 0$, temos que $q_1(x)-q_2(x)=0$; ou seja $q_1(x)=q_2(x)$. Denotando $q_1(x)=q_2(x)=q(x)$, obtemos que
\n\\[
\nf(x)=q(x)g(x)+r_1(x)=q(x)g(x)+r_2(x),
\n\\]
\nmas isso implica que $r_1(x)=r_2(x)$. Obtivemos assim que a decomposi\u00e7\u00e3o de $f(x)$ \u00e9 \u00fanica.<\/p>\n<\/div>\n

\nO polin\u00f4mio $q(x)$ no teorema anterior chama-se o quociente<\/strong> de $f(x)$ por $g(x)$, enquanto $r(x)$ chama-se o resto<\/strong>.<\/div>\n

A biblioteca SymPy<\/a> da linguagem Python pode ser usada para fazer computa\u00e7\u00f5es com polin\u00f4mios. Vamos por exemplo refazer o exemplo no in\u00edcio desta p\u00e1gina em Python.<\/p>\n

\n>>> from sympy import poly, QQ\n>>> from sympy.abc import x\n>>> f = poly( x**3-2*x**2+x-1, domain = QQ )\n>>> g = poly( x**2-1, domain = QQ )\n>>> f\/\/g\nPoly(x\u22122,x,domain=\u211a)\n>>> f % g \nPoly(2x\u22123,x,domain=\u211a)\n>>> g*(f\/\/g)+f%g  == f\nTrue\n<\/code>\n<\/pre>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Considere $f(x)=x^3-2x^2+x-1$ e $g(x)=x^2-1$ como polin\u00f4mios em $\\Q[x]$. Usando o m\u00e9todo bem conhecido do ensino m\u00e9dio, pode-se calcular o quociente de $f(x)$ por $g(x)$ e o resto: \\begin{align*} &x^3-2x^2+x-1 : x^2-1 = x-2\\\\ &- [x^3-x] \\\\\\hline &-2x^2+2x-1\\\\ -& [-2x^2+2]\\\\\\hline &2x-3 \\end{align*} Obtemos que \\[ f(x)=(x-2)g(x)+(2x-3) \\] Pode-se dizer que o quociente de $f(x)$ por $g(x)$ … Continue reading O Teorema de Divis\u00e3o para polin\u00f4mios<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1577"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1577"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1577\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2004,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1577\/revisions\/2004"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1577"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}