{"id":1562,"date":"2022-01-09T16:55:54","date_gmt":"2022-01-09T19:55:54","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1562"},"modified":"2023-01-06T14:50:39","modified_gmt":"2023-01-06T17:50:39","slug":"divisibilidade-entre-polinomios","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/divisibilidade-entre-polinomios\/","title":{"rendered":"Divisibilidade entre polin\u00f4mios"},"content":{"rendered":"
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\nSeja $R$ um anel e sejam $f(x),g(x)\\in R[x]$. Dizemos que $f(x)$ divide<\/strong> $g(x)$, ou que $g(x)$ \u00e9 divis\u00edvel<\/strong> por $f(x)$ ou que $g(x)$ \u00e9 um m\u00faltiplo<\/strong> de $f(x)$ se existir $h(x)\\in R[x]$ tal que $f(x)h(x)=g(x)$. Quando $f(x)$ divide $g(x)$, escrevemos que $f(x)\\mid g(x)$.<\/div>\n
\nPodemos dizer por exemplo que $x+1\\mid x^2-1$ considerando estes polin\u00f4mios, por exemplo, em $\\Z[x]$. De fato $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Note que a divisibilidade entre dois polin\u00f4mios depende do anel $R$ de coeficientes. Por exemplo se $f(x)=2x+2$ e $g(x)=x^2-1$ s\u00e3o polin\u00f4mios em $\\Q[x]$, ent\u00e3o $f(x)\\mid g(x)$, pois $g(x)=f(x)h(x)$ onde $h(x)=(1\/2)(x-1)$. Por outro lado, se consideramos estes polin\u00f4mios em $\\Z[x]$ ent\u00e3o $f(x)\\nmid g(x)$.<\/div>\n

As propriedades principais da divisibilidade entre polin\u00f4mios s\u00e3o as mesmas que entre n\u00fameros inteiros. No seguinte lema n\u00f3s resumimos as propriedades mais importantes. Pode notar que o conceito da divisibilidade pode ser definido em um anel arbitr\u00e1rio (e n\u00e3o apenas nos an\u00e9is $\\Z$ ou $R[x]$), mas n\u00f3s n\u00e3o vamos fazer isso nesta disciplina.<\/p>\n

\nSeja $R$ um anel, sejam $f(x),g(x),h(x)\\in R[x]$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas.<\/p>\n
    \n
  1. $f(x)\\mid f(x)$.<\/li>\n
  2. Se $f(x)\\mid g(x)$ e $g(x)\\mid h(x)$ ent\u00e3o $f(x)\\mid h(x)$.<\/li>\n
  3. Se $R$ \u00e9 um dom\u00ednio, $f(x)\\mid g(x)$ e $g(x)\\mid f(x)$, ent\u00e3o existe algum $\\alpha\\in R$ invert\u00edvel tal que $g(x)=\\alpha f(x)$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n(1), (2): Exerc\u00edcio.<\/p>\n

    (3) Assuma que $R$ \u00e9 um dom\u00ednio, $f(x)\\mid g(x)$ e $g(x)\\mid f(x)$. Se $f(x)=0$, ent\u00e3o $g(x)=0$ e a afirma\u00e7\u00e3o est\u00e1 verdadeira. Assuma agora que $f(x)\\neq 0$. Ent\u00e3o existem $q_1(x),q_2(x)$ tais que $g(x)=f(x)q_1(x)$ e $f(x)=g(x)q_2(x)$. Logo
    \n\\[
    \nf(x)=q_2(x)g(x)=q_2(x)q_1(x)f(x).
    \n\\]
    \nComo $R$ \u00e9 um dom\u00ednio, $R[x]$ tamb\u00e9m \u00e9, e como $f(x)$ \u00e9 n\u00e3o nulo aplica-se a lei cancelativa que implica que $1=q_2(x)q_1(x)$. Agora a defini\u00e7\u00e3o de elementos invert\u00edveis implica que $q_1(x)$ e $q_2(x)$ s\u00e3o invert\u00edveis em $R[x]$ e obtemos de um lema anterior que $q_1(x)$ e $q_2(x)$ s\u00e3o elementos invert\u00edveis de $R$.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $R$ um anel e sejam $f(x),g(x)\\in R[x]$. Dizemos que $f(x)$ divide $g(x)$, ou que $g(x)$ \u00e9 divis\u00edvel por $f(x)$ ou que $g(x)$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $f(x)$ se existir $h(x)\\in R[x]$ tal que $f(x)h(x)=g(x)$. Quando $f(x)$ divide $g(x)$, escrevemos que $f(x)\\mid g(x)$. Podemos dizer por exemplo que $x+1\\mid x^2-1$ considerando estes polin\u00f4mios, por exemplo, … Continue reading Divisibilidade entre polin\u00f4mios<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1562"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1562"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1562\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2003,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1562\/revisions\/2003"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1562"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}