{"id":1550,"date":"2022-01-09T11:20:36","date_gmt":"2022-01-09T14:20:36","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1550"},"modified":"2023-01-06T14:50:10","modified_gmt":"2023-01-06T17:50:10","slug":"polinomios","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/polinomios\/","title":{"rendered":"Polin\u00f4mios sobre an\u00e9is"},"content":{"rendered":"
\n
\nSeja $R$ um anel. Um polin\u00f4mio<\/strong> sobre $R$ (ou polin\u00f4mio com coeficientes em $R$) \u00e9 uma express\u00e3o formal
\n\\[
\nf=f(x)=\\alpha_n x^n+\\alpha_{n-1}x^{n-1}+\\cdots+\\alpha_1 x+\\alpha_0
\n\\]
\nonde $\\alpha_i\\in R$. O s\u00edmbolo $x$ \u00e9 uma inc\u00f3gnita. Por exemplo
\n\\[
\n\\frac 12x^2+2x-1
\n\\]
\npode ser considerado como um polin\u00f4mio sobre $\\Q$, $\\R$ ou $\\C$. O conjunto de todos os polin\u00f4mios na inc\u00f3gnita $x$ sobre $R$ \u00e9 denotado por $R[x]$. Seja $f(x)\\in R[x]$ um polin\u00f4mio como acima e assuma agora que $\\alpha_n\\neq 0$. O termo $\\alpha_nx^n$ \u00e9 chamado termo l\u00edder<\/strong> de $f(x)$ enquanto o coeficiente $\\alpha_n$ \u00e9 o coeficiente l\u00edder<\/strong>. O n\u00famero $n$ \u00e9 dito o grau<\/strong> de $f(x)$ e \u00e9 denotado por $\\grau{f(x)}$. Um polin\u00f4mio $f(x)$ \u00e9 dito m\u00f4nico<\/strong> se o seu coeficiente l\u00edder \u00e9 igual a $1$. Para o polin\u00f4mio $0$ estes termos n\u00e3o s\u00e3o definidos.<\/div>\n

Se $\\alpha\\in R$ ent\u00e3o $\\alpha$ pode ser identificado com o elemento $\\alpha=\\alpha x^0\\in R[x]$ e assim os elementos de $R$ podem ser considerados como polin\u00f4mios de grau zero em $R[x]$. Os polin\u00f4mios de grau zero s\u00e3o tamb\u00e9m chamados de polin\u00f4mios constantes<\/strong>.<\/p>\n

Por exemplo considere $f(x)\\in\\Z_5[x]$ onde
\n\\[
\nf(x) = \\overline 2x^2+\\overline 1.
\n\\]
\nO termo l\u00edder de $f(x)$ \u00e9 $\\overline 2x^2$, o coeficiente l\u00edder \u00e9 $\\overline 2$, o grau de $f(x)$ \u00e9 $2$ e $f(x)$ n\u00e3o \u00e9 m\u00f4nico, pois seu coeficiente l\u00edder \u00e9 diferente de $\\overline 1$.<\/p>\n

Nesta disciplina, polin\u00f4mios s\u00e3o considerados principalmente como express\u00f5es simb\u00f3licas e n\u00e3o como fun\u00e7\u00f5es. No entanto, dado um polin\u00f4mio $f(x)\\in R[x]$ e $\\alpha\\in R$ pode-se substituir $\\alpha$ em $f(x)$ e obter $f(\\alpha)\\in R$. O elemento $\\alpha\\in R$ \u00e9 dito raiz<\/strong> de $f(x)$ se $f(\\alpha)=0$.<\/p>\n

Podemos tamb\u00e9m definir a fun\u00e7\u00e3o polinomial
\n\\[
\n\\hat f:R\\to R,\\quad \\hat f(\\alpha)= f(\\alpha).
\n\\]
\nNo entanto, note que para $p$ um primo, $f(x)=x$ e $g(x)=x^p$ s\u00e3o dois polin\u00f4mios distintos de $\\Z_p[x]$, mas pelo Pequeno Teorema de Fermat, as fun\u00e7\u00f5es $\\hat f,\\hat g:\\Z_p\\to \\Z_p$ s\u00e3o iguais. Assim, quando falamos de polin\u00f4mios sobre um anel arbitr\u00e1rio, precisa-se distinguir entre o polin\u00f4mio como express\u00e3o formal e a fun\u00e7\u00e3o polinomial.<\/p>\n

<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seja $R$ um anel. Um polin\u00f4mio sobre $R$ (ou polin\u00f4mio com coeficientes em $R$) \u00e9 uma express\u00e3o formal \\[ f=f(x)=\\alpha_n x^n+\\alpha_{n-1}x^{n-1}+\\cdots+\\alpha_1 x+\\alpha_0 \\] onde $\\alpha_i\\in R$. O s\u00edmbolo $x$ \u00e9 uma inc\u00f3gnita. Por exemplo \\[ \\frac 12x^2+2x-1 \\] pode ser considerado como um polin\u00f4mio sobre $\\Q$, $\\R$ ou $\\C$. O conjunto de todos os polin\u00f4mios … Continue reading Polin\u00f4mios sobre an\u00e9is<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1550"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1550"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1550\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2001,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1550\/revisions\/2001"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1550"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}