{"id":1544,"date":"2022-01-09T10:29:42","date_gmt":"2022-01-09T13:29:42","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1544"},"modified":"2023-01-06T14:49:59","modified_gmt":"2023-01-06T17:49:59","slug":"aneis-corpos-e-dominios-de-integridade","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/aneis-corpos-e-dominios-de-integridade\/","title":{"rendered":"An\u00e9is, dom\u00ednios e corpos"},"content":{"rendered":"<div style=\"color:black;\">\n<div class=\"definition\">\nAssuma que $R$ \u00e9 um conjunto com pelo menos dois elementos equipado por duas opera\u00e7\u00f5es $+$ (adi\u00e7\u00e3o) e $\\cdot$ (multiplica\u00e7\u00e3o) que satisfazem as seguintes propriedades para todo $a,b,c\\in R$:<\/p>\n<ul>\n<li>$a+(b+c)=(a+b)+c$ (associatividade da adi\u00e7\u00e3o);<\/li>\n<li>$a+b=b+a$ (comutatividade da adi\u00e7\u00e3o);<\/li>\n<li>existe um elemento $0\\in R$ (elemento neutro aditivo) tal que $a+0=a$;<\/li>\n<li>para todo elemento $a\\in R$ existe um elemento denotado por $-a$ (sim\u00e9trico de $a$) tal que $a+(-a)=0$;<\/li>\n<li>$a\\cdot(b\\cdot c)=(a\\cdot b)\\cdot c$ (associatividade da multiplica\u00e7\u00e3o);<\/li>\n<li>$a\\cdot b=b\\cdot a$ (comutatividade da multiplica\u00e7\u00e3o);<\/li>\n<li>existe um elemento $1\\in R$ (elemento neutro multiplicativo) tal que $1\\cdot a=a$;<\/li>\n<li>$a\\cdot (b+c)=a\\cdot b+a\\cdot c$ (distributividade).<\/li>\n<\/ul>\n<p>O conjunto $R$ com as opera\u00e7\u00f5es $+$ e $\\cdot$ \u00e9 chamado <strong>anel<\/strong>. As vezes escrevemos que a estrutura $(R,+,\\cdot)$ \u00e9 um anel.<\/p>\n<\/div>\n<p>Na defini\u00e7\u00e3o anterior, o fato que $+$ e $\\cdot$ s\u00e3o opera\u00e7\u00f5es sobre $R$ quer dizer que $R$ \u00e9 fechado para estas opera\u00e7\u00f5es. Ou seja, se $a,b\\in R$, ent\u00e3o $a+b,a\\cdot b\\in R$. O produto $a\\cdot b$ \u00e9 tamb\u00e9m denotado simplesmente por $ab$ quando n\u00e3o h\u00e1 perigo de confus\u00e3o.<\/p>\n<p>Na verdade, o nosso conceito de an\u00e9is \u00e9 conhecido na literatura como <strong>anel comutativo com identidade<\/strong>, mas, como n\u00f3s n\u00e3o vamos estudar outros tipos de an\u00e9is, optamos por simplificar a terminologia a chamar estes objetos simplesmente como an\u00e9is. Mas o leitor deve ficar ciente que em muitos livros a defini\u00e7\u00e3o de anel n\u00e3o exige que a multiplica\u00e7\u00e3o seja comutativa e as vezes os livros n\u00e3o assumem a exist\u00eancia do elemento neutro para a multiplica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<div class=\"example\">\nOs exemplos mais comuns de an\u00e9is s\u00e3o os conjuntos $\\Z$, $\\Q$, $\\R$, $\\C$ com as suas respetivas opera\u00e7\u00f5es $+$ e $\\cdot$. Pelo que estudamos na segunda parte da disciplina, podemos afirmar que $(\\Z_n,+,\\cdot)$ tamb\u00e9m \u00e9 um anel para todo $n\\geq 2$. Um exemplo interessante de an\u00e9is \u00e9 o anel de inteiros gaussianos:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\Z[i]=\\{a+bi\\mid a,b\\in\\Z\\}.<br \/>\n\\]<br \/>\n\u00c9 f\u00e1cil verificar que $\\Z[i]$ \u00e9 um anel com as opera\u00e7\u00f5es de $+$ e $\\cdot$. Um exemplo similar \u00e9 o anel<br \/>\n\\[<br \/>\n\\Z[\\sqrt 2]=\\{a+b\\sqrt 2\\mid a,b\\in\\Z\\}.<br \/>\n\\]<br \/>\nO leitor pode verificar que $\\Z[\\sqrt 2]$ \u00e9 um anel.<\/p>\n<p>Exemplos importantes de an\u00e9is aparecem na \u00e1rea de c\u00e1lculo e an\u00e1lise. Considere por exemplo o conjunto<br \/>\n\\[<br \/>\nC([0,1])=\\{f:[0,1]\\to \\R\\mid \\mbox{$f$ \u00e9 cont\u00ednua}\\}.<br \/>\n\\]<br \/>\nTomando $f,g\\in C([0,1])$,  a soma $f+g$ e o produto $f\\cdot g$ podem ser definidos como<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nf+g&amp;:[0,1]\\to \\R,\\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)\\mbox{ para todo } x\\in[0,1];\\\\<br \/>\nf\\cdot g&amp;:[0,1]\\to \\R,\\ (f\\cdot g)(x)=f(x)\\cdot g(x)\\mbox{ para todo } x\\in[0,1].<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n\u00c9 f\u00e1cil verificar que $(C([0,1]),+,\\cdot)$ \u00e9 um anel.<\/p>\n<p>Vamos terminar a lista dos exemplos com alguns exemplos que n\u00e3o s\u00e3o an\u00e9is. Por exemplo, o conjunto de n\u00fameros pares $\\{0,\\pm 2,\\pm 4,\\ldots\\}$ com as opera\u00e7\u00f5es usuais n\u00e3o \u00e9 anel, pois n\u00e3o possui elemento neutro. O conjunto de matrizes $2\\times 2$ sobre $\\R$ com a soma e produto entre matrizes n\u00e3o \u00e9 anel (por nossa defini\u00e7\u00e3o), pois a multiplica\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 comutativa. O conjunto $\\N_0$ dos inteiros n\u00e3o negativos tamb\u00e9m n\u00e3o \u00e9 anel, pois os os elementos positivos n\u00e3o t\u00eam sim\u00e9tricos.<\/p>\n<\/div>\n<p>Podemos observar que nos exemplo conhecidos, os elementos neutros $0$ e $1$ e o sim\u00e9trico de qualquer $a\\in R$ s\u00e3o \u00fanicos. Teoricamente poderia existir algum anel esquisito que possui dois elementos neutros, ou algum elemento com dois sim\u00e9tricos, mas o lema seguinte implica que isso \u00e9 imposs\u00edvel.<\/p>\n<div class=\"lemma\">\nSeja $R$ um anel. Os elementos neutros $0$ e $1$ e, para $a\\in R$, o sim\u00e9trico de $a$ s\u00e3o \u00fanicos. Al\u00e9m disso, $0\\cdot a =0$ para todo $a\\in R$.<\/div>\n<div class=\"proof\">\nAssuma por exemplo que $0_1$ e $0_2$ s\u00e3o elementos neutros para adi\u00e7\u00e3o em um anel $R$. Usando os axiomas do anel, obtemos que<br \/>\n\\[<br \/>\n0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2.<br \/>\n\\]<br \/>\nEnt\u00e3o $0_1=0_2$ e o elemento neutro para a soma \u00e9 \u00fanico. Pode-se usar o mesmo argumento para provar que o elemento neutro para a multiplica\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m \u00e9 \u00fanico. Assuma que $a\\in R$ e sejam $b,c\\in R$ tais que $b$ e $c$ s\u00e3o sim\u00e9tricos de $a$. De novo, usamos os axiomas para obter que<br \/>\n\\[<br \/>\nb=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=(a+b)+c=0+c=c.<br \/>\n\\]<br \/>\nOu seja $b=c$, e o sim\u00e9trico de $a$ \u00e9 \u00fanico.<\/p>\n<p>Finalmente, assuma que $a\\in R$. Ent\u00e3o<br \/>\n\\[<br \/>\n0\\cdot a=(0+0)\\cdot a=0\\cdot a+0\\cdot a.<br \/>\n\\]<br \/>\nSomando o negativo $-(0\\cdot a)$ de $0\\cdot a$ aos dois lados da equa\u00e7\u00e3o anterior, obtemos que $0=0\\cdot a$ como foi afirmado.<\/p>\n<\/div>\n<p>Se $R$ \u00e9 um anel e $a,b\\in R$ ent\u00e3o escrevemos $a-b$ para denotar $a+(-b)$.<\/p>\n<div class=\"definition\">\nSeja $R$ um anel e seja $a\\in R$. O elemento $a$ \u00e9 dito <strong>invert\u00edvel<\/strong> (ou <strong>unidade<\/strong>) se existir $b\\in R$ tal que $ab=1$. O elemento $a$ \u00e9 dito <strong>divisor de zero<\/strong> se $a\\neq 0$ e existe $b\\in R\\setminus\\{0\\}$ tal que $ab=0$.<\/div>\n<div class=\"example\">\nPor exemplo, os elementos invert\u00edveis em $\\Z$ e em $\\Z[\\sqrt 2]$ s\u00e3o $1$ e $-1$. Em $\\Z[i]$, os invert\u00edveis s\u00e3o $1,-1,i,-i$. Em $\\Z_{10}$ os invert\u00edveis s\u00e3o $\\overline 1,\\overline 3,\\overline 7,\\overline 9$. Em $\\Q$, $\\R$, $\\C$ e em $\\Z_p$, para $p$ primo, todos os elementos n\u00e3o nulos s\u00e3o invert\u00edveis.<\/p>\n<p>Os an\u00e9is $\\Z$, $\\Z[i]$, $\\Z[\\sqrt 2]$, $\\Q$, $\\R$, $\\C$ e $\\Z_p$, para $p$ primo, n\u00e3o possuem divisores de zero. Os divisores de zero em $\\Z_{10}$ s\u00e3o $\\overline 2$, $\\overline 4$, $\\overline 5$, $\\overline 6$, $\\overline 8$.<\/p>\n<\/div>\n<p>Note que segue do fato que $0\\cdot a =0$ para todo $a\\in R$ que $0$ nunca \u00e9 invert\u00edvel.<\/p>\n<p>Usando o mesmo argumento que o sim\u00e9trico de um elemento \u00e9 \u00fanico, pode-se provar que o inverso de um elemento $a\\in R$ invert\u00edvel \u00e9 \u00fanico. Assim, o inverso de $a\\in R$ (quando existir) \u00e9 escrito como $a^{-1}$.<\/p>\n<div class=\"exercise\">Seja $a\\in R$ um elemento invert\u00edvel de um anel $R$. Mostre que $a$ n\u00e3o \u00e9 divisor de zero.<\/div>\n<div class=\"lemma\">(A lei do cancelamento)<br \/>\nSeja $R$ um anel, $a,b,c\\in R$ tal que $a\\neq 0$, $a$ n\u00e3o \u00e9 divisor de zero e<br \/>\n\\[<br \/>\nab=ac.<br \/>\n\\]<br \/>\nEnt\u00e3o $b=c$.<\/div>\n<div class=\"proof\">\nAssuma que $ab=ac$; ou seja<br \/>\n\\[<br \/>\n0=ab-ac=a(b-c).<br \/>\n\\]<br \/>\nComo $a$ n\u00e3o \u00e9 zero e n\u00e3o \u00e9 divisor de zero, segue que $b-c=0$; ou seja $b=c$.<\/div>\n<div class=\"example\">\nSejam $a=\\overline 4$, $b=\\overline 1$, $c=\\overline 3$ elementos em $\\Z_8$. Ent\u00e3o temos que<br \/>\n\\[<br \/>\na\\cdot b=\\overline 4=\\overline{12}=a\\cdot c<br \/>\n\\]<br \/>\nmas $b\\neq c$. Ent\u00e3o a condi\u00e7\u00e3o no lema anterior que $a$ n\u00e3o pode ser um divisor de zero \u00e9 necess\u00e1ria.<\/div>\n<div class=\"definition\">\nUm anel $R$ chama-se <strong>dom\u00ednio de integridade<\/strong> ou simplesmente <strong>dom\u00ednio<\/strong>  se $R$ n\u00e3o possui divisores de zero. O anel $R$ chama-se <strong>corpo<\/strong> se todo elemento $a\\in R\\setminus\\{0\\}$ \u00e9 invertivel.<\/div>\n<p>Se $R$ \u00e9 um dom\u00ednio de integridade e $a,b\\in R$ tais que $ab=0$, ent\u00e3o $a=0$ ou $b=0$.<\/p>\n<div class=\"example\">\nEntre os exemplos acima, $\\Z$, $\\Z[i]$, $\\Z[\\sqrt 2]$ s\u00e3o dom\u00ednios, mas eles n\u00e3o s\u00e3o corpos. Os an\u00e9is $\\Q$, $\\R$, $\\C$ e $\\Z_p$, para $p$ primo, s\u00e3o corpos. Se $n$ \u00e9 um n\u00famero composto, ent\u00e3o $\\Z_n$ n\u00e3o \u00e9 corpo nem \u00e9 dom\u00ednio.<\/div>\n<div class=\"lemma\">\nSe $R$ \u00e9 corpo, ele \u00e9 dom\u00ednio.<\/div>\n<div class=\"proof\">\nAssuma que $R$ \u00e9 um corpo e $a\\in R\\setminus\\{0\\}$. O fato que $R$ \u00e9 corpo implica que $a$ \u00e9 invert\u00edvel e obtemos do exerc\u00edcio acima que $a$ n\u00e3o \u00e9 divisor de zero.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Assuma que $R$ \u00e9 um conjunto com pelo menos dois elementos equipado por duas opera\u00e7\u00f5es $+$ (adi\u00e7\u00e3o) e $\\cdot$ (multiplica\u00e7\u00e3o) que satisfazem as seguintes propriedades para todo $a,b,c\\in R$: $a+(b+c)=(a+b)+c$ (associatividade da adi\u00e7\u00e3o); $a+b=b+a$ (comutatividade da adi\u00e7\u00e3o); existe um elemento $0\\in R$ (elemento neutro aditivo) tal que $a+0=a$; para todo elemento $a\\in R$ existe um &hellip; <a href=\"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/aneis-corpos-e-dominios-de-integridade\/\" class=\"more-link\">Continue reading <span class=\"screen-reader-text\">An\u00e9is, dom\u00ednios e corpos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1544"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1544"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1544\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2000,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1544\/revisions\/2000"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1544"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}