{"id":1467,"date":"2021-12-07T08:11:51","date_gmt":"2021-12-07T11:11:51","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1467"},"modified":"2023-01-06T14:47:57","modified_gmt":"2023-01-06T17:47:57","slug":"elementos-primitivos-o-enunciado","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/elementos-primitivos-o-enunciado\/","title":{"rendered":"Elementos primitivos: O enunciado"},"content":{"rendered":"
\nLembre que $\\Z_n^*$ denota o conjunto de elementos invert\u00edveis em $\\Z_n$. A ordem $|\\overline a|$ de um elemento $\\overline a\\in\\Z_n^*$ \u00e9 o menor $k\\in\\N$ tal que $\\overline a^k=\\overline 1$. Pelo Teorema de Euler, $|\\overline a|$ \u00e9 um divisor de $\\varphi(n)$. Em particular, quando $n$ \u00e9 primo $|\\overline a|$ \u00e9 um divisor de $p-1$.<\/p>\n
\nSeja $n\\in\\N$. Um elemento de $\\overline a\\in\\Z_n^*$ \u00e9 dito primitivo se $|\\overline a|=\\varphi(n)$. No caso particular quando $n$ \u00e9 primo, um elemento $\\overline a\\in\\Z_n$ \u00e9 dito primitivo se $|\\overline a|=p-1$.<\/div>\n
\nConsidere os casos $n=2,3,4,5,6,7,8$. Em $\\Z_2^*=\\{\\overline 1\\}$, o elemento $\\overline 1$ \u00e9 primitivo. Em $\\Z_3^*=\\{\\overline 1,\\overline 2\\}$, o elemento $\\overline 2$ \u00e9 primitivo, pois $|\\overline 2|=2=3-1$. Em $\\Z_4^*=\\{\\overline 1,\\overline 3\\}$, o elemento $\\overline 3$ \u00e9 primitivo. Em $\\Z_5^*=\\{\\overline 1,\\overline 2,\\overline 3,\\overline 4\\}$, os elementos $\\overline 2$ e $\\overline 3$ s\u00e3o primitivos, pois $|\\overline 2|=|\\overline 3|=4$. O elemento $\\overline 4\\in\\Z_5^*$ n\u00e3o \u00e9 primitivo, pois sua ordem \u00e9 $2$. Em $\\Z_6^*=\\{\\overline 1,\\overline 5\\}$, o elemento $\\overline 5$ \u00e9 primitivo. \u00c9 f\u00e1cil verificar que em $\\Z_7^*$, os elementos $\\overline 3$ e $\\overline 5$ s\u00e3o primitivos, mas os outros n\u00e3o s\u00e3o. Em $\\Z_8^*=\\{\\overline 1,\\overline 3,\\overline 5,\\overline 7\\}$ todo elemento possui ordem $2$ e nenhum \u00e9 primitivo.<\/div>\n
Seja $\\overline a\\in\\Z_n^*$ um elemento primitivo. Ent\u00e3o
\n\\[
\n\\Z_n^*=\\{\\overline a^0,\\overline a,\\overline a^2,\\ldots,\\overline a^{\\varphi(n)-1}\\}.
\n\\]<\/div>\n
\nEste lema segue do fato que $|\\Z_n^*|=\\varphi(n)$ e do resultado anterior que os elementos listados na linha destacada do enunciado do lema s\u00e3o mutuamente distintos.<\/div>\n

Enunciaremos agora o Teorema do Elemento Primitivo. A demonstra\u00e7\u00e3o deste teorema n\u00e3o \u00e9 muito dif\u00edcil, mas precisa de alguns fatos sobre polin\u00f4mios e suas ra\u00edzes que vamos aprender depois da segunda prova e a demonstra\u00e7\u00e3o ser\u00e1 adiada.<\/p>\n

\nSe $p\\in\\N$ \u00e9 um primo, ent\u00e3o $\\Z_p^*$ possui elementos primitivos.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Lembre que $\\Z_n^*$ denota o conjunto de elementos invert\u00edveis em $\\Z_n$. A ordem $|\\overline a|$ de um elemento $\\overline a\\in\\Z_n^*$ \u00e9 o menor $k\\in\\N$ tal que $\\overline a^k=\\overline 1$. Pelo Teorema de Euler, $|\\overline a|$ \u00e9 um divisor de $\\varphi(n)$. Em particular, quando $n$ \u00e9 primo $|\\overline a|$ \u00e9 um divisor de $p-1$. Seja $n\\in\\N$. … Continue reading Elementos primitivos: O enunciado<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1467"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1467"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1467\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1992,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1467\/revisions\/1992"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1467"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}