{"id":1459,"date":"2021-12-06T21:21:45","date_gmt":"2021-12-07T00:21:45","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1459"},"modified":"2023-01-06T14:48:15","modified_gmt":"2023-01-06T17:48:15","slug":"quadrados-em-z_p-e-residuos-quadraticos-modulo-p","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/quadrados-em-z_p-e-residuos-quadraticos-modulo-p\/","title":{"rendered":"Quadrados em $\\Z_p$ e res\u00edduos quadr\u00e1ticos m\u00f3dulo $p$"},"content":{"rendered":"<div style=\"color:black;\">\n<p>Lembre da nota\u00e7\u00e3o $\\Z_p^*=\\Z_p\\setminus\\{\\overline 0\\}$ ($p$ \u00e9 primo).<\/p>\n<div class=\"definition\">\nSeja $p\\in\\N$ um primo. Um elemento $\\overline a\\in\\Z_p^*$ \u00e9 dito quadrado se $\\overline a=\\overline b^2$ com algum $\\overline b\\in\\Z_p^*$.<\/div>\n<div class=\"example\">\nEm $\\Z_5^*$, os elementos s\u00e3o $\\overline 1,\\overline 2,\\overline 3,\\overline 4$, os seus quadrados s\u00e3o $\\overline 1,\\overline 4,\\overline 4,\\overline 1$. Ent\u00e3o $\\Z_5^*$ possui dois quadrados, nomeadamente $\\overline 1$ e $\\overline 4$.  Uma conta simples mostra que os quadrados dos elementos de $\\Z_7^*$ s\u00e3o $\\overline 1,\\overline 4,\\overline 2,\\overline 2,\\overline 4,\\overline 1$. Ent\u00e3o os quadrados de $\\Z_7^*$ s\u00e3o $\\overline 1$, $\\overline 2$ e $\\overline 4$.<\/div>\n<p>No resto da p\u00e1gina $p$ \u00e9 um primo com $p\\geq 3$.<\/p>\n<div class=\"exercise\">\nSeja $p$ um primo \u00edmpar e seja $\\overline a\\in\\Z_p^*$. Mostre que $\\overline a^{(p-1)\/2}\\in\\{\\overline 1,\\overline{-1}\\}$.<\/div>\n<div class=\"example\">\nMotivado pelo exerc\u00edcio anterior, vamos calcular $\\overline a^3$ para todo $\\overline a\\in\\Z_7^*$.<br \/>\n\\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\overline a &amp; \\overline 1 &amp; \\overline 2 &amp; \\overline 3&amp; \\overline 4&amp; \\overline 5 &amp; \\overline 6 \\\\\\hline<br \/>\n\\overline a^3 &amp; \\overline 1 &amp; \\overline 1 &amp; \\overline{-1}&amp; \\overline 1&amp; \\overline {-1} &amp; \\overline {-1} \\\\\\hline<br \/>\n\\end{array}<br \/>\nObservamos duas coisas:<\/p>\n<ul>\n<li>Se $\\overline a\\in\\Z_7^*$ \u00e9 quadrado, ent\u00e3o $\\overline a^3=\\overline 1$.<\/li>\n<li>Se $\\overline a\\in\\Z_7^*$ n\u00e3o \u00e9 quadrado, ent\u00e3o $\\overline a^3=\\overline{-1}$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>No lema seguinte demonstramos que as observa\u00e7\u00f5es feitas no exemplo anterior n\u00e3o s\u00e3o coincid\u00eancias.<\/p>\n<div class=\"lemma\">\nSeja $p$ um primo com $p\\geq 3$. O n\u00famero de quadrados em $\\Z_p^*$ \u00e9 $(p-1)\/2$. Al\u00e9m disso, $\\overline a\\in\\Z_p^*$ \u00e9 um quadrado se e somente se $\\overline a^{(p-1)\/2}=\\overline 1$ e $\\overline a$ n\u00e3o \u00e9 quadrado se e somente se $\\overline a^{(p-1)\/2}=\\overline{-1}$.<\/div>\n<div class=\"proof\">\nConsidere<br \/>\n\\[<br \/>\n\\psi:\\Z_p^*\\to\\Z_p^*,\\quad \\overline a\\mapsto \\overline a^{2}.<br \/>\n\\]<br \/>\nTemos que a imagem de $\\psi$ \u00e9 precisamente o conjunto dos quadrados em $\\Z_p^*$. Al\u00e9m disso, assuma que $\\overline a,\\overline b\\in\\Z_p^*$ tais que $\\psi(\\overline a)=\\psi(\\overline b)$; ou seja $\\overline a^2=\\overline b^2$. A \u00faltima equa\u00e7\u00e3o \u00e9 equivalente ao fato que $p\\mid a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ implicando que $p\\mid a-b$ ou $p\\mid a+b$ e assim<br \/>\n\\[<br \/>\nb\\equiv \\pm a\\pmod p\\quad\\mbox{e}\\quad \\overline b=\\pm\\overline a.<br \/>\n\\]<br \/>\nAl\u00e9m disso, $\\overline a$ e $\\overline{-a}$ s\u00e3o distintos, pois se $\\overline a=\\overline{-a}$, ent\u00e3o $\\overline 2\\overline a=\\overline 0$ que implica (como $\\overline 2$ \u00e9 invert\u00edvel) que $\\overline a=0$ que n\u00e3o \u00e9 o caso, pois $\\overline a\\in\\Z_p^*$.<\/p>\n<p>Portanto cada elemento $\\overline b$ na imagem de $\\psi$ existem precisamente dois elementos $\\overline a$ e $-\\overline a$ tal que $\\psi(\\overline a)=\\psi(-\\overline a)=\\overline b$. Como $|\\Z_p^*|=p-1$ a imagem de $\\psi$ cont\u00e9m $(p-1)\/2$ elementos e assim h\u00e1 $(p-1)\/2$ quadrados em $\\Z_p^*$.<\/p>\n<p>Assuma que $\\overline a\\in\\Z_p^*$ \u00e9 um quadrado. Seja $\\overline b\\in\\Z_p^*$ tal que $\\overline a=\\overline b^2$. O Pequeno Teorema de Fermat implica que<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline a^{(p-1)\/2}=(\\overline b^2)^{(p-1)\/2}=\\overline b^{p-1}=\\overline 1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Agora assuma que $\\overline a\\in\\Z_p^*$ n\u00e3o \u00e9 um quadrado. Defina<br \/>\n\\[<br \/>\n\\vartheta:\\Z_p^*\\to\\Z_p^*,\\quad \\overline b\\mapsto \\overline a\/\\overline b=\\overline a\\overline b^{-1}.<br \/>\n\\]<br \/>\nNote que $\\vartheta$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o e que $\\vartheta(\\overline b)=\\overline c$ se e somente se $\\vartheta(\\overline c)=\\overline b$. Al\u00e9m disso $\\overline b\\vartheta(\\overline b)=\\overline a$ para todo $\\overline b\\in\\Z_p^*$ e o fato que $\\overline a$ n\u00e3o \u00e9 quadrado implica que $\\vartheta(\\overline b)\\neq\\overline b$ para todo $\\overline b\\in\\Z_p^*$.<\/p>\n<p>Vamos enumerar os elementos de $\\Z_p^*$ como<br \/>\n\\[<br \/>\n\\Z_p^*=\\{\\overline b_1,\\vartheta(\\overline b_1),\\overline b_2,\\vartheta(\\overline b_2),\\ldots,\\overline b_<br \/>\n{(p-1)\/2},\\vartheta(\\overline b_{(p-1)\/2})\\}.<br \/>\n\\]<br \/>\nOra, o Teorema de Wilson nos diz que<br \/>\n\\[<br \/>\n-1\\equiv (p-1)!\\equiv 1\\cdot 2\\cdots (p-1)\\pmod p<br \/>\n\\]<br \/>\ne isso implica que<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\overline{-1}&amp;= \\overline 1\\cdot \\overline 2\\cdots \\overline{p-1}\\\\&amp;=(\\overline b_1\\vartheta(\\overline b_1))(\\overline b_2\\vartheta(\\overline b_2))\\cdots(\\overline b_{(p-1)\/2}\\vartheta(\\overline b_{(p-1)\/2}))\\\\&amp;=\\overline a^{(p-1)\/2}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"definition\">\nSeja $p$ um primo com $p\\geq 3$ e seja $a\\in\\Z$ tal que $p \\nmid a$. O n\u00famero $a$ \u00e9 dito res\u00edduo quadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$ se $a\\equiv b^2\\pmod p$ com algum $b\\in\\Z$. Caso contr\u00e1rio, $a$ \u00e9 dito res\u00edduo n\u00e3o quadr\u00e1tico (m\u00f3dulo $p$).<\/div>\n<p>\u00c9 imediato da defini\u00e7\u00e3o que $a$ \u00e9 res\u00edduo quadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$ se e somente se $\\overline a$ \u00e9 um quadrado em $\\Z_p$.<\/p>\n<div class=\"example\">\nUm n\u00famero $a\\in\\Z$ \u00e9 res\u00edduo quadr\u00e1tico m\u00f3dulo $7$ se e somente se<br \/>\n\\[<br \/>\na\\equiv 1,2,4\\pmod 7<br \/>\n\\]<br \/>\nenquanto $a$ \u00e9 res\u00edduo n\u00e3o quadr\u00e1tico se e somente se<br \/>\n\\[<br \/>\na\\equiv 3,5,6\\pmod 7.<br \/>\n\\]<br \/>\nSe $a\\equiv 0\\pmod 7$, ent\u00e3o o conceito n\u00e3o \u00e9 definido para $a$.<\/div>\n<div class=\"definition\">\nSeja $p$ um primo com $p\\geq 3$ e $a\\in\\Z$. Definimos o s\u00edmbolo de Legendre $(\\frac ap)$ como<br \/>\n\\[<br \/>\n\\left(\\frac ap\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1 &amp; \\mbox{se $a$ \u00e9 res\u00edduo quadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$;}\\\\<br \/>\n-1&amp; \\mbox{se $a$ \u00e9 res\u00edduo n\u00e3o quadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$;}\\\\<br \/>\n0 &amp; \\mbox{se $p\\mid a$}.\\end{array}\\right.<br \/>\n\\]<\/div>\n<div class=\"example\">\nConsiderando $p=7$ temos que<br \/>\n\\[<br \/>\n\\left(\\frac a7\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1 &amp; \\mbox{se $a\\equiv 1,2,4\\pmod 7$;}\\\\<br \/>\n-1&amp; \\mbox{se $a\\equiv 3,5,6\\pmod 7$;}\\\\<br \/>\n0 &amp; \\mbox{se $a\\equiv 0\\pmod 7$.}\\end{array}\\right.<br \/>\n\\]<\/div>\n<div class=\"theorem\">\nSe $p$ \u00e9 um primo com $p\\geq 3$ e $a\\in\\Z$, ent\u00e3o<br \/>\n\\[<br \/>\n\\left(\\frac ap\\right)\\equiv a^{(p-1)\/2} \\pmod p.<br \/>\n\\]<\/div>\n<p>O seguinte teorema famoso \u00e9 conhecido como a Lei da Reciprocidade Quadr\u00e1tica. Este teorema ser\u00e1 apresentado sem demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<div class=\"theorem\">\nSejam $p$ e $q$ primos com $p,q\\geq 3$. Ent\u00e3o<br \/>\n\\[<br \/>\n\\left(\\frac pq\\right)\\left(\\frac qp\\right)=(-1)^{\\frac{p-1}2\\frac{q-1}2}<br \/>\n\\]<\/div>\n<p>Para saber mais detalhes sobre o assunto, assista o <a href=\"https:\/\/youtu.be\/X63MWZIN3gM\">v\u00eddeo<\/a> no canal Mathologer.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Lembre da nota\u00e7\u00e3o $\\Z_p^*=\\Z_p\\setminus\\{\\overline 0\\}$ ($p$ \u00e9 primo). Seja $p\\in\\N$ um primo. Um elemento $\\overline a\\in\\Z_p^*$ \u00e9 dito quadrado se $\\overline a=\\overline b^2$ com algum $\\overline b\\in\\Z_p^*$. Em $\\Z_5^*$, os elementos s\u00e3o $\\overline 1,\\overline 2,\\overline 3,\\overline 4$, os seus quadrados s\u00e3o $\\overline 1,\\overline 4,\\overline 4,\\overline 1$. 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