{"id":1449,"date":"2021-12-06T14:15:06","date_gmt":"2021-12-06T17:15:06","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1449"},"modified":"2023-01-06T14:47:42","modified_gmt":"2023-01-06T17:47:42","slug":"a-ordem-de-um-elemento-de-z_n","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/a-ordem-de-um-elemento-de-z_n\/","title":{"rendered":"A ordem de um elemento de $\\Z_n$"},"content":{"rendered":"<div style=\"color:black;\">\nSeja $n\\in\\N$ e considere o conjunto $\\Z_n$ das classes residuais. Comecemos com um exemplo motivador.<\/p>\n<div class=\"example\">\nConsidere $\\Z_{20}$, tome um elemento invert\u00edvel $\\overline a\\in\\Z_{20}$ (ou seja, $\\mdc a{20}=1$), e vamos olhar na sequ\u00eancia<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline a^0,\\overline a,\\overline a^2,\\overline a^3,\\ldots<br \/>\n\\]<br \/>\nPor conven\u00e7\u00e3o, $\\overline a^0=\\overline 1$. Tomando por exemplo, $\\overline a=\\overline 3$, obtemos a sequ\u00eancia<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline 1,\\overline 3,\\overline 9,\\overline 7,\\overline 1,\\overline 3,\\overline 9,\\overline 7,\\overline 1,\\overline 3,\\overline 9,\\overline 7,\\ldots<br \/>\n\\]<br \/>\nTomando, $\\overline a =\\overline 7$, obtemos a sequ\u00eancia<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline 1,\\overline 7,\\overline 9,\\overline 3,\\overline 1,\\overline 7,\\overline 9,\\overline 3,\\overline 1,\\overline 7,\\overline 9,\\overline 3,\\ldots<br \/>\n\\]<br \/>\nTomando $\\overline a=\\overline 9$, obtemos<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline 1,\\overline 9, \\overline 1,\\overline 9,\\overline 1,\\overline 9,\\ldots<br \/>\n\\]<br \/>\nOlhando nestes exemplos, podemos fazer algumas observa\u00e7\u00f5es (que, como o leitor pode verificar, s\u00e3o v\u00e1lidas para qualquer $\\overline a\\in\\Z_n^*$):<\/p>\n<ul>\n<li>A sequ\u00eancia sempre come\u00e7a com $\\overline 1$.<\/li>\n<li>Sempre existe algum $k\\in\\N$ tal que $\\overline a^k=\\overline 1$.<\/li>\n<li>A sequ\u00eancia \u00e9 peri\u00f3dica, pois quando $\\overline a^k=\\overline 1$, a sequ\u00eancia come\u00e7a a se repetir.<\/li>\n<li>Seja $k\\in\\N$ o menor tal que $\\overline a^k=\\overline 1$. Os elementos $\\overline a^0,\\overline a,\\ldots,\\overline a^{k-1}$ s\u00e3o dois a dois distintos.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>No resto desta p\u00e1gina vamos provar que as observa\u00e7\u00f5es feitas no exemplo anterior s\u00e3o v\u00e1lidas para todo $\\overline a\\in\\Z_n^*$.<\/p>\n<p>Note que o resultado seguinte segue do Teorema de Euler, mas n\u00f3s vamos dar uma demonstra\u00e7\u00e3o diferente.<\/p>\n<div class=\"lemma\">\nSe $\\overline a\\in\\Z_n$ \u00e9 invert\u00edvel, ent\u00e3o existe $k\\geq 1$ tal que $\\overline a^k=\\overline 1$.<\/div>\n<div class=\"proof\">\nConsidere a sequ\u00eancia $\\overline a,\\overline a^2,\\overline a^3,\\ldots$. Note, para todo $i\\in\\N$, que $\\overline a^i\\in\\Z_n$ ent\u00e3o existem finitas possibilidades para o valor de $\\overline a^i$. Portanto precisam existir alguns $i,j\\geq 1$ tal que $i &lt; j$ e $\\overline a^i=\\overline a^j$. Como $\\overline a$ \u00e9 invert\u00edvel, temos que $\\overline a^i$ tamb\u00e9m \u00e9, e<br \/>\n\\[<br \/>\n(\\overline a^i)^{-1}=(\\overline a^{-1})^i=\\overline a^{-i}.<br \/>\n\\]<br \/>\nMultiplicando a equa\u00e7\u00e3o $\\overline a^i=\\overline a^j$ por $\\overline a^{-i}$ obtemos que<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline 1 =\\overline a^{j-i}.<br \/>\n\\]<br \/>\nComo $j-i\\geq 1$, o lema fica verificado.<\/div>\n<div class=\"definition\">\nSeja $\\overline a\\in\\Z_n$ uma classe invert\u00edvel. O menor n\u00famero natural $k$ tal que $\\overline a^k=\\overline 1$ chama-se a ordem de $\\overline a$ (em $\\Z_n$). A ordem de $\\overline a$ em $\\Z_n$ \u00e9 denotado por $|\\overline a|_n$ ou por $|\\overline a|$ quando n\u00e3o h\u00e1 perigo de confus\u00e3o.<\/div>\n<div class=\"lemma\">\nSeja $\\overline a\\in\\Z_n$ um elemento  invert\u00edvel e ponha $b=|\\overline a|_n$.<\/p>\n<ol>\n<li>Seja $k\\in\\N_0$ tal que $\\overline a^k=\\overline 1$. Ent\u00e3o $k$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $b$.<\/li>\n<li>As classes $\\overline a^0,\\overline a,\\overline a^2,\\ldots,\\overline a^{b-1}$ s\u00e3o dois a dois distintas.<\/li>\n<li>$b$ \u00e9 um divisor de $\\varphi(n)$.<\/li>\n<li>Se $n$ \u00e9 um primo, ent\u00e3o $b$ \u00e9 um divisor de $n-1$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"proof\">\n(1) Assuma que $\\overline a^k=\\overline 1$ e escreva $k=qb+r$ com $r\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$. Ora<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline 1=\\overline a^k=\\overline a^{qb+r}=(\\overline a^b)^q\\overline a^r=\\overline a^r.<br \/>\n\\]<br \/>\nA defini\u00e7\u00e3o de $b=|\\overline a|_n$ e o fato que $0\\leq r\\leq b-1$ implicam que $r=0$, ou seja $k=q|\\overline a|_n$ como foi afirmado.<\/p>\n<p>(2) Assuma que $\\overline a^i=\\overline a^j$ com algum $i,j\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$ e $i\\leq j$. Pelo racioc\u00ednio da demonstra\u00e7\u00e3o do lema anterior, obtemos que<br \/>\n\\[<br \/>\n\\overline 1=\\overline a^{j-i}.<br \/>\n\\]<br \/>\nComo $0\\leq j-i\\leq b-1$, a defini\u00e7\u00e3o de $|\\overline a|_n$ implica que $j-i=0$; ou seja $i=j$.<\/p>\n<p>(3) Essa afirma\u00e7\u00e3o segue do Teorema de Euler que implica que $\\overline a^{\\varphi(n)}=\\overline 1$ e da primeira parte do lema.<\/p>\n<p>(4) Esta parte segue diretamente da parte (3) e do fato que $\\varphi(n)=n-1$ quando $n$ \u00e9 primo.<\/p>\n<\/div>\n<p>\u00c9 poss\u00edvel escrever os resultados desta p\u00e1gina na linguagem das congru\u00eancias.<\/p>\n<div class=\"definition\">\nSeja $a\\in\\Z$ e seja $n\\in\\N$. Assuma que $a$ \u00e9 invert\u00edvel m\u00f3dulo $n$; ou seja $\\mdc an=1$. A ordem de $a$ m\u00f3dulo $n$ \u00e9 o menor inteiro positivo $k$ tal que $a^k\\equiv 1\\pmod n$. Denotamos a ordem de $a$ m\u00f3dulo $n$ por $|a|_n$.<\/div>\n<div class=\"lemma\">\nSeja $a\\in\\Z$ e $n\\in\\N$ tais que $\\mdc an=1$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas.<\/p>\n<ol>\n<li>A ordem $|a|_n$ existe.<\/li>\n<li>Se $a^k\\equiv 1\\pmod n$ com algum $k\\in\\N_0$. ent\u00e3o $k$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $|a|_n$.<\/li>\n<li>Se $i,j\\in\\{0,\\ldots,|a|_n-1\\}$ s\u00e3o tais que $a^i\\equiv a^j\\pmod n$, ent\u00e3o $i=j$.<\/li>\n<li>$|a|_n$ \u00e9 um divisor de $\\varphi(n)$.<\/li>\n<li>Se $n$ \u00e9 um primo, ent\u00e3o $|a|_n$ \u00e9 um divisor de $n-1$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"proof\">\nAs partes deste resultado seguem das afirma\u00e7\u00f5es correspondentes sobre $\\overline a\\in\\Z_n$.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Seja $n\\in\\N$ e considere o conjunto $\\Z_n$ das classes residuais. Comecemos com um exemplo motivador. Considere $\\Z_{20}$, tome um elemento invert\u00edvel $\\overline a\\in\\Z_{20}$ (ou seja, $\\mdc a{20}=1$), e vamos olhar na sequ\u00eancia \\[ \\overline a^0,\\overline a,\\overline a^2,\\overline a^3,\\ldots \\] Por conven\u00e7\u00e3o, $\\overline a^0=\\overline 1$. Tomando por exemplo, $\\overline a=\\overline 3$, obtemos a sequ\u00eancia \\[ \\overline &hellip; <a href=\"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/a-ordem-de-um-elemento-de-z_n\/\" class=\"more-link\">Continue reading <span class=\"screen-reader-text\">A ordem de um elemento de $\\Z_n$<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1449"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1449"}],"version-history":[{"count":12,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1449\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1991,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1449\/revisions\/1991"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1449"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}