{"id":1442,"date":"2021-12-02T08:28:54","date_gmt":"2021-12-02T11:28:54","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1442"},"modified":"2023-01-06T14:47:29","modified_gmt":"2023-01-06T17:47:29","slug":"o-teorema-de-wilson","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/o-teorema-de-wilson\/","title":{"rendered":"O Teorema de Wilson"},"content":{"rendered":"
\n
Seja $p$ um primo e seja $\\overline a\\in\\Z_p$.<\/p>\n
    \n
  1. Se $\\overline a^2=\\overline 1$ ent\u00e3o $\\overline a\\in\\{\\overline 1,\\overline{-1}\\}$.<\/li>\n
  2. Se $\\overline a\\neq\\overline 0$ e $\\overline a^{-1}=\\overline a$ ent\u00e3o $\\overline a\\in\\{\\overline 1,\\overline{-1}\\}$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nVamos provar a primeira afirma\u00e7\u00e3o. Assuma que $\\overline a^2=\\overline 1$. Ent\u00e3o $a^2\\equiv 1\\pmod p$ e $p\\mid a^2-1=(a-1)(a+1)$. Como $p$ \u00e9 primo, isso implica que $p\\mid (a-1)$ ou $p\\mid (a+1)$; ou seja $a\\equiv 1\\pmod p$ ou $a\\equiv -1\\pmod p$. No primeiro caso $\\overline a=\\overline 1$, enquanto no segundo $\\overline a=\\overline{-1}$.<\/p>\n

    Na segunda afirma\u00e7\u00e3o, assuma que $\\overline a^{-1}=\\overline a$ e multiplique os dois lados com $\\overline a$ para obter que $\\overline 1=\\overline a^2$. Agora a primeira afirma\u00e7\u00e3o implica que $\\overline a\\in\\{\\overline 1,\\overline{-1}\\}$.<\/p>\n<\/div>\n

    Podemos expressar estes resultados na linguagem das congru\u00eancias na forma seguinte.<\/p>\n

    \nSeja $p$ um primo e seja $a\\in\\Z$.<\/p>\n
      \n
    1. Se $a^2\\equiv 1\\pmod p$ ent\u00e3o $a\\equiv \\pm 1\\pmod p$.<\/li>\n
    2. Assuma que $p\\nmid a$ e seja $b$ um inverso de $a$ m\u00f3dulo $p$. Se $b\\equiv a\\pmod p$, ent\u00e3o $a\\equiv \\pm 1\\pmod p$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      (O Teorema de Wilson). Um n\u00famero $n\\in\\N$ \u00e9 primo se e somente se $(n-1)!\\equiv -1\\pmod n$.<\/div>\n
      \nVamos come\u00e7ar com a volta, pois esta dire\u00e7\u00e3o \u00e9 mais f\u00e1cil. Assuma que $(n-1)!\\equiv -1\\pmod n$ e seja $a\\in\\{1,\\ldots,n-1\\}$ tal que $a\\mid n$. Em particular, $a\\mid (n-1)!$. A congru\u00eancia $(n-1)!\\equiv -1\\pmod n$ implica que $n\\mid (n-1)!+1$ e obtemos destas duas divisibilidades que $a\\mid 1$ que implica que $a=1$. Obtivemos ent\u00e3o que o \u00fanico divisor de $n$ entre $1$ e $n-1$ \u00e9 o $1$ e assim $n$ \u00e9 primo.<\/p>\n

      Agora demonstremos a ida. Assuma que $p$ \u00e9 primo e escreva
      \n\\[
      \n(n-1)!=1\\cdot 2\\cdot 3\\cdots (n-2)\\cdot (n-1).
      \n\\]
      \nNote que todo fator neste produto possui inverso m\u00f3dulo $p$ pois $p$ \u00e9 primo. Al\u00e9m disso, se $a\\in\\{1,\\ldots,n-1\\}$ ent\u00e3o existe \u00fanico elemento $b\\in\\{1,\\ldots,n-1\\}$ tal que $b$ \u00e9 inverso de $a$ m\u00f3dulo $p$; ou seja, $ab\\equiv 1\\pmod p$. Pelo lema anterior $b=a$ se e somente se $a=1$ ou $a=n-1$, Isso quer dizer que no produto na \u00faltima linha destacada m\u00f3dulo $p$, cada fator aparece com seu inverso exceto o primeiro ($1$) e o \u00faltimo ($n-1$). Assim
      \n\\[
      \n(n-1)!=1\\cdot 2\\cdot 3\\cdots (n-2)\\cdot (n-1)\\equiv n-1\\equiv -1\\pmod p.
      \n\\]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Seja $p$ um primo e seja $\\overline a\\in\\Z_p$. Se $\\overline a^2=\\overline 1$ ent\u00e3o $\\overline a\\in\\{\\overline 1,\\overline{-1}\\}$. Se $\\overline a\\neq\\overline 0$ e $\\overline a^{-1}=\\overline a$ ent\u00e3o $\\overline a\\in\\{\\overline 1,\\overline{-1}\\}$. Vamos provar a primeira afirma\u00e7\u00e3o. Assuma que $\\overline a^2=\\overline 1$. Ent\u00e3o $a^2\\equiv 1\\pmod p$ e $p\\mid a^2-1=(a-1)(a+1)$. Como $p$ \u00e9 primo, isso implica que $p\\mid (a-1)$ ou … Continue reading O Teorema de Wilson<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1442"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1442"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1442\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1990,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1442\/revisions\/1990"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1442"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}