{"id":1435,"date":"2021-11-30T21:35:38","date_gmt":"2021-12-01T00:35:38","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1435"},"modified":"2023-01-06T14:47:12","modified_gmt":"2023-01-06T17:47:12","slug":"o-pequeno-teorema-de-fermat-e-o-teorema-de-euler","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/o-pequeno-teorema-de-fermat-e-o-teorema-de-euler\/","title":{"rendered":"O Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema de Euler"},"content":{"rendered":"
\n
\nSejam $a,b\\in\\Z$ e seja $p\\in\\N$ um primo. Mostre que
\n\\[
\n(a+b)^p\\equiv a^p+b^p\\pmod p
\n\\]<\/div>\n

A afirma\u00e7\u00e3o do exerc\u00edcio anterior \u00e9 conhecido como o sonho do calouro<\/em>.<\/p>\n

\n(O Pequeno Teorema de Fermat, vers\u00e3o com congru\u00eancia) Seja $p\\in\\N$ um primo e $a\\in\\Z$. Ent\u00e3o
\n\\[
\na^p\\equiv a\\pmod p.
\n\\]
\nAl\u00e9m disso, se $p\\nmid a$, ent\u00e3o
\n\\[
\na^{p-1}\\equiv 1\\pmod p.
\n\\]<\/div>\n
\nVamos provar a primeira afirma\u00e7\u00e3o. Como todo inteiro negativo \u00e9 congruente com algum inteiro positivo m\u00f3dulo $p$, \u00e9 suficiente provar a afirma\u00e7\u00e3o para $a\\in\\N$. De fato, \u00e9 suficiente provar para $a\\in\\{0,\\ldots,p-1\\}$, mas isso n\u00e3o simplifica nosso argumento. A prova vai por indu\u00e7\u00e3o em $a$. Como $0^p=0\\equiv 0\\pmod p$, a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para $a=0$. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o para algum $a$ e use o exerc\u00edcio anterior para obter que
\n\\[
\n(a+1)^p\\equiv a^p+1^p=a+1\\pmod p.
\n\\]<\/p>\n

Agora a segunda afirma\u00e7\u00e3o. Se $p\\nmid a$, ent\u00e3o $a$ possui inverso m\u00f3dulo $p$. Multiplicando a congru\u00eancia $a^p\\equiv a\\pmod p$ pelo inverso de $a$, obtemos que $a^{p-1}\\equiv 1\\pmod p$.<\/p>\n<\/div>\n

Uma forma alternativa do Pequeno Teorema de Fermat usando $\\Z_n$ \u00e9 a seguinte.<\/p>\n

(Pequeno Teorema de Fermat, vers\u00e3o $\\Z_n$). Seja $p\\in\\N$ primo e $\\overline a\\in\\Z_n$. Ent\u00e3o
\n\\[
\n\\overline a^p=\\overline a.
\n\\]
\nAl\u00e9m disso, se $\\overline a\\neq\\overline 0$, ent\u00e3o
\n\\[
\n\\overline a^{p-1}= \\overline 1.
\n\\]<\/div>\n
\nSeja $p\\in\\N$ primo e $a\\in\\Z$ tal que $p\\nmid a$. Ent\u00e3o $a^{p-2}$ \u00e9 um inverso de $a$ m\u00f3dulo $p$. Equivalentemente
\n\\[
\n\\overline a^{-1}=\\overline a^{p-2}.
\n\\]<\/div>\n
\nO Pequeno Teorema de Fermat implica que
\n\\[
\n1\\equiv a^{p-1}=a\\cdot a^{p-2}.
\n\\]
\nOra a defini\u00e7\u00e3o do inverso modular implica que $a^{p-2}$ \u00e9 um inverso de $a$ m\u00f3dulo $p$. A segunda afirma\u00e7\u00e3o segue imediatamente da primeira.<\/div>\n
\nSeja $n\\in\\N$ e seja
\n\\[
\n\\Z_n^*=\\{\\overline a\\in\\Z_n\\mid\\mbox{$\\overline a$ \u00e9 invert\u00edvel}\\}.
\n\\]
\nDemonstre as seguintes propriedades de $\\Z_n^*$:<\/p>\n