{"id":1424,"date":"2021-11-30T09:29:05","date_gmt":"2021-11-30T12:29:05","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1424"},"modified":"2023-01-06T14:46:59","modified_gmt":"2023-01-06T17:46:59","slug":"o-teorema-chines-dos-restos-versao-2-0","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/o-teorema-chines-dos-restos-versao-2-0\/","title":{"rendered":"O Teorema Chin\u00eas dos Restos (Vers\u00e3o 2.0)"},"content":{"rendered":"
\nSejam $m,n\\in\\N$ primos entre si, sejam $a,b\\in\\Z$ e considere o sistema
\n\\begin{align*}
\nx &\\equiv a\\pmod m\\\\
\nx &\\equiv b\\pmod n
\n\\end{align*}
\nde congru\u00eancias.<\/p>\n

Uma solu\u00e7\u00e3o $x\\in\\Z$ deste sistema \u00e9 um n\u00famero inteiro tal que o resto de $x$ \u00e9 o mesmo que o resto de $a$ quando divididos por $m$ e o resto de $x$ \u00e9 o mesmo que o resto de $b$ quando divididos por $n$. J\u00e1 vimos em uma aula anterior que tal $x$ sempre existe. Seja $x_0$ uma solu\u00e7\u00e3o deste sistema (ou seja, uma solu\u00e7\u00e3o particular do sistema). \u00c9 f\u00e1cil verificar que $x_0+kmn$ com $k\\in\\Z$ tamb\u00e9m \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o; de fato,
\n\\begin{align*}
\nx_0+kmn&\\equiv x_0\\equiv a\\pmod m\\\\
\nx_0+kmn&\\equiv x_0\\equiv b\\pmod n.
\n\\end{align*}
\nAl\u00e9m disso, se $x\\in\\Z$ \u00e9 uma outra solu\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o
\n\\begin{align*}
\nx&\\equiv x_0\\pmod m\\\\
\nx&\\equiv x_0\\pmod n.
\n\\end{align*}
\nAplicando a defini\u00e7\u00e3o de ser congruente, obtemos que $m\\mid x-x_0$ e $n\\mid x-x_0$. Como $\\mdc mn=1$, tem-se que $mn\\mid x-x_0$; ou seja, $x-x_0=kmn$ com algum $k\\in\\Z$. Portanto $x=x_0+kmn$.<\/p>\n

Com este argumento verificamos o seguinte resultado, que pode ser visto como uma vers\u00e3o do Teorema Chin\u00eas dos Restos.<\/p>\n

\nSejam $m,n\\in\\N$ primos entre si, sejam $a,b\\in\\Z$. Ent\u00e3o o
\n\\begin{align*}
\nx &\\equiv a\\pmod m\\\\
\nx &\\equiv b\\pmod n
\n\\end{align*}
\nde congru\u00eancias sempre possui uma solu\u00e7\u00e3o. Al\u00e9m disso, se $x_0$ \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o do sistema, ent\u00e3o o conjunto das solu\u00e7\u00f5es (a solu\u00e7\u00e3o geral) pode ser obtido como
\n\\[
\n\\{x_0+kmn\\mid k\\in\\Z\\}.
\n\\]<\/div>\n
\nVeja o argumento antes do teorema.<\/div>\n

Note que uma solu\u00e7\u00e3o particular para o sistema pode ser encontrada usando o Algoritmo Estendido de Euclides como fizemos no caso da primeira vers\u00e3o do Teorema Chin\u00eas. Note ainda que o teorema diz que o conjunto de solu\u00e7\u00f5es \u00e9 uma classe residual m\u00f3dulo $mn$ e este conjunto \u00e9 o mesmo que o conjunto das solu\u00e7\u00f5es da congru\u00eancia
\n\\[
\nx\\equiv x_0\\pmod{mn}.
\n\\]<\/p>\n

\nCom as condi\u00e7\u00f5es no teorema anterior, o sistema
\n\\begin{align*}
\nx &\\equiv a\\pmod m\\\\
\nx &\\equiv b\\pmod n
\n\\end{align*}
\nde congru\u00eancias \u00e9 equivalente \u00e0 congru\u00eancia
\n\\[
\nx\\equiv c\\pmod{mn}
\n\\]
\ncom algum $c\\in\\Z$.<\/div>\n

O n\u00famero $c$ no corol\u00e1rio pode ser determinado usando o Algoritmo Estendido de Euclides.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sejam $m,n\\in\\N$ primos entre si, sejam $a,b\\in\\Z$ e considere o sistema \\begin{align*} x &\\equiv a\\pmod m\\\\ x &\\equiv b\\pmod n \\end{align*} de congru\u00eancias. Uma solu\u00e7\u00e3o $x\\in\\Z$ deste sistema \u00e9 um n\u00famero inteiro tal que o resto de $x$ \u00e9 o mesmo que o resto de $a$ quando divididos por $m$ e o resto de $x$ … Continue reading O Teorema Chin\u00eas dos Restos (Vers\u00e3o 2.0)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1424"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1424"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1424\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1988,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1424\/revisions\/1988"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1424"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}