{"id":1417,"date":"2021-11-28T20:46:44","date_gmt":"2021-11-28T23:46:44","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1417"},"modified":"2022-10-05T21:36:00","modified_gmt":"2022-10-06T00:36:00","slug":"z_n","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/z_n\/","title":{"rendered":"$\\Z_n$"},"content":{"rendered":"
\nSeja $n\\in\\N$ um n\u00famero natural e seja $a\\in\\Z$. N\u00f3s definimos em uma aula anterior a classe residual (ou a classe de congru\u00eancia de $a$) m\u00f3dulo $n$ como
\n\\[
\n\\overline a=\\{a+kn\\mid k\\in\\Z\\}=\\{b\\in\\Z\\mid b\\equiv a\\pmod n\\}.
\n\\]
\nProvamos ainda que $\\overline a=\\overline b$ se e somente se $a\\equiv b\\pmod n$. Assim h\u00e1 exatamente $n$ classes residuais m\u00f3dulo $n$, nomeadamente,
\n\\[
\n\\overline 0, \\overline 1,\\ldots,\\overline{n-1}.
\n\\]
\nDenotamos por $\\Z_n$ o conjunto das classes residuais m\u00f3dolo $n$:
\n\\[
\n\\Z_n=\\{\\overline 0,\\overline 1,\\ldots,\\overline{n-1}\\}.
\n\\]
\nPortanto $\\Z_n$ \u00e9 um conjunto finito com $n$ elementos; ou seja $|\\Z_n|=n$. Por exemplo,
\n\\[
\n\\Z_5=\\{\\overline 0, \\overline 1,\\overline 2,\\overline 3,\\overline 4\\}.
\n\\]
\nN\u00f3s podemos definir duas opera\u00e7\u00f5es, uma soma e uma multiplica\u00e7\u00e3o, no conjunto das classes residuais pondo
\n\\begin{align*}
\n\\overline a+\\overline b&=\\overline{a+b};\\\\
\n\\overline a\\cdot\\overline b&=\\overline{a\\cdot b}
\n\\end{align*}
\npara todo $\\overline a,\\overline b\\in\\Z_n$.

<\/p>\n

Por exemplo, se $\\bar 2,\\bar 4\\in \\Z_6$, ent\u00e3o
\\begin{align*}
\\bar 2+\\bar 4&=\\overline{2+4}=\\bar 6=\\bar 0;\\\\
\\bar 2\\cdot \\bar 4&=\\overline{2\\cdot 4}=\\bar 8=\\bar 2.
\\end{align*}<\/div>\n
\nAs opera\u00e7\u00f5es $+$ e $\\cdot$ s\u00e3o bem definidas no conjunto $\\Z_n$. Al\u00e9m disso estas opera\u00e7\u00f5es satisfazem as seguintes propriedades para todo $\\overline a,\\overline b,\\overline c\\in\\Z_n$:

<\/p>\n

    \n
  • $(\\overline a+\\overline b)+\\overline c=\\overline a+(\\overline b+\\overline c)$ (associatividade da adi\u00e7\u00e3o);<\/li>\n
  • $\\overline a+\\overline b=\\overline b+\\overline a$ (comutatividade da adi\u00e7\u00e3o);<\/li>\n
  • $\\overline a+\\overline 0=\\overline a$ (elemento neutro para a adi\u00e7\u00e3o);<\/li>\n
  • $\\overline a+(\\overline{-a})=\\overline 0$ (elemento sim\u00e9trico para a adi\u00e7\u00e3o);<\/li>\n
  • $(\\overline a\\overline b)\\overline c=\\overline a(\\overline b\\overline c)$ (associatividade da multiplica\u00e7\u00e3o);<\/li>\n
  • $\\overline a\\overline b=\\overline b\\overline a$ (comutatividade da multiplia\u00e7\u00e3o);<\/li>\n
  • $\\overline a\\overline 1=\\overline a$ (elemento neutro da multiplica\u00e7\u00e3o);<\/li>\n
  • $\\overline a(\\overline b+\\overline c)=\\overline a\\overline b+\\overline a\\overline c$ (distributividade).<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
    \nO fato que a opera\u00e7\u00f5es $+$ e $\\cdot$ s\u00e3o bem definidas \u00e9 equivalente ao seginte fato. Se $a_1,a_2,b_1,b_2\\in\\Z$ tais que $\\overline{a_1}=\\overline{a_2}$ e
    \n$\\overline{b_1}=\\overline{b_2}$, ent\u00e3o
    \n\\begin{align*}
    \n\\overline{a_1}+\\overline{b_1}&=\\overline{a_2}+\\overline{b_2}\\\\
    \n\\overline{a_1}\\overline{b_1}&=\\overline{a_2}\\overline{b_2}\\\\
    \n\\end{align*}
    \nAs equa\u00e7\u00f5es acima s\u00e3o equivalentes \u00e0s congru\u00eancias
    \n\\begin{align*}
    \na_1+b_1&\\equiv a_2+b_2\\pmod n\\\\
    \na_1b_1&=a_2b_2\\pmod n\\\\
    \n\\end{align*}
    \nMas estas congru\u00eancias s\u00e3o verdadeiras por um resultado que provamos na aula sobre congru\u1ebdncias.

    <\/p>\n

    As propriedades listadas s\u00e3o mais ou menos \u00f3bvias. Vamos provar a distributividade. Obtemos usando a defini\u00e7\u00e3o das opera\u00e7\u00f5es que
    \n\\[
    \n\\overline a(\\overline b+\\overline c)=\\overline a\\overline{b+c}=\\overline{a(b+c)}=\\overline{ab+ac}=\\overline{ab}+\\overline{ac}=\\overline a\\overline b+\\overline a\\overline c.
    \n\\]\n<\/p>\n<\/div>\n

    As seguintes tabelas cont\u00e9m as tabelas da adi\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o em $\\Z_5$.<\/p>\n<\/div>\n\n\n

    $+$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 4$<\/td><\/tr>
    $\\bar 0$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 4$<\/td><\/tr>
    $\\bar 1$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 4$<\/td>$\\bar 0$<\/td><\/tr>
    $\\bar 2$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 4$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 1$<\/td><\/tr>
    $\\bar 3$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 4$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 2$<\/td><\/tr>
    $\\bar 4$<\/td>$\\bar 4$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 3$<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
    Tabela da adi\u00e7\u00e3o em $\\Z_5$<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
    $\\cdot$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 4$<\/td><\/tr>
    $\\bar 0$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 0$<\/td><\/tr>
    $\\bar 1$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 4$<\/td><\/tr>
    $\\bar 2$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 4$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 3$<\/td><\/tr>
    $\\bar 3$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 1$<\/td>$\\bar 4$<\/td>$\\bar 2$<\/td><\/tr>
    $\\bar 4$<\/td>$\\bar 0$<\/td>$\\bar 4$<\/td>$\\bar 3$<\/td>$\\bar 2$<\/td>$\\bar 1$<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
    Tabela da multiplica\u00e7\u00e3o em $\\Z_5$<\/figcaption><\/figure>\n
    \n
    \nDizemos que um elemento $\\overline a\\in\\Z_n$ \u00e9 invert\u00edvel se existe $\\overline b\\in\\Z_n$ tal que $\\overline a\\overline b=\\overline 1$. Neste caso $\\overline b$ \u00e9 dito inverso de $\\overline a$ e escrevemos $\\overline b=\\overline a^{-1}$.<\/div>\n
    Por exemplo $\\bar 3\\in\\Z_{10}$ \u00e9 invert\u00edvel, pois $\\bar 3\\cdot \\bar 7=\\bar 1$. Logo $\\bar 3^{-1}=\\bar 7$. Por outro lado, $\\bar 2\\in\\Z_{10}$ n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel.<\/div>\nPode-se observar para $n\\geq 2$ que os elementos $\\bar 1,\\overline{-1}=\\overline{n-1}$ \ns\u00e3o sempre invert\u00edveis, enquanto $\\bar 0$ nunca \u00e9 invert\u00edvel. Denotamos por $\\Z_n^*$ o conjunto de classes invert\u00edveis em $\\Z_n$. Por exemplo, $\\Z_6^*=\\{\\bar 1,\\bar 5\\}$.\n
    \nUm elemento $\\overline a\\in\\Z_n$ \u00e9 invert\u00edvel se e somente se $\\mdc an=1$. Neste caso, o inverso de $\\overline a$ \u00e9 \u00fanico e ele pode ser encontrado usando o Algoritmo Estendido de Euclides.<\/div>\n
    \nUm elemento $\\overline a$ \u00e9 invert\u00edvel se e somente se existir $\\overline b\\in\\Z_n$ tal que $\\overline a\\overline b=\\overline 1$; ou seja, $ab\\equiv 1\\pmod n$. Isso acontece se e somente se $ab-1=kn$ com algum $k\\in\\Z$; ou seja, a equa\u00e7\u00e3o diofantina \n\\[\nab-kn=1\n\\]\npossui solu\u00e7\u00e3o $(b,k)$ em $\\Z$. Mas n\u00f3s j\u00e1 vimos que esta equa\u00e7\u00e3o tem solu\u00e7\u00f5es inteiras se e somente se $\\mdc an=1$ e que neste caso uma solu\u00e7\u00e3o pode ser encontrada usando o Algoritmo Estendido de Euclides. Se $(b,k)$ \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o \n\\[\nab=1+kn\\equiv 1\\pmod n\n\\]\ne assim $\\bar a\\cdot\\bar b=\\bar 1$ e $\\bar b=\\bar a^{-1}$.\nA unicidade do inverso tamb\u00e9m segue de um resultado anterior que afirmou que o conjunto dos inverso de $a$ m\u00f3dulo $n$ formam uma classe residual m\u00f3dulo $n$. Aqui n\u00f3s vamos fazer uma outra demonstra\u00e7\u00e3o que usa apenas as propriedades que foram listadas no lema anterior. Assuma que $\\overline b,\\overline c\\in\\Z_n$ s\u00e3o inversos de $\\overline a$; ou seja, $\\overline a\\overline b=\\overline a\\overline c=\\overline 1$. Portanto\n\\[\n\\overline b=\\overline b\\overline 1=\\overline b(\\overline a\\overline c)=(\\overline b\\overline a)\\overline c=\\overline 1\\overline c=\\overline c.\n\\]\nDaqui obtemos que $\\overline b=\\overline c$ como desejado.\n<\/div>\nO conjunto das classes invert\u00edveis de $\\Z_n$ \u00e9 denotado por $\\Z_n^*$. \n
    \nTem-se que $|\\Z_n^*|=\\varphi(n)$ (onde $\\varphi$ \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o de Euler). Al\u00e9m disso, todo elemento diferente de $\\overline 0$ \u00e9 invert\u00edvel em $\\Z_n$ se e somente se $n$ \u00e9 primo.<\/div>\nO corol\u00e1rio anterior implica que, se $p$ for primo, a estrutura $\\Z_p$ comporta-se na mesma maneira como $\\Q$, $\\R$, ou $\\C$ no sentido que pode fazer as opera\u00e7\u00f5es $+$ e $\\cdot$ e pode tamb\u00e9m dividir por qualquer elemento n\u00e3o nulo. N\u00f3s dizemos que a estrutura $\\Z_p$ \u00e9 um corpo finito. Corpos finitos t\u00eam muitas aplica\u00e7\u00f5es na matem\u00e1tica, mas tamb\u00e9m fora da matem\u00e1tica tal como na engenharia, f\u00edsica, qu\u00edmica, etc.\n
    \nUm inteiro $a\\in\\Z$ \u00e9 dito invert\u00edvel m\u00f3dulo $n$ (com $n\\in\\N$) se existir $b\\in\\Z$ tal que $ab\\equiv 1\\pmod n$. Neste caso, $b$ \u00e9 dito inverso modular<\/i> de $a$ m\u00f3dulo $n$. \n<\/div>\nNote que $a\\in\\Z$ \u00e9 invert\u00edvel m\u00f3dulo $n$ se e somente se $\\bar a\\in\\Z_n$ \u00e9 invert\u00edvel que ocorre se e somente se $\\mdc an=1$. Al\u00e9m disso, $\\bar b\\in\\Z_n$ \u00e9 inverso de $\\bar a$ se e somente se $b\\in\\Z$ \u00e9 inverso modular de $a$ m\u00f3dulo $n$. Um inverso modular de $a$ (caso existir) pode ser encontrado usando o Algoritmo Estendido de Euclides. O inverso modular n\u00e3o \u00e9 \u00fanico, mas os inversos modulares de $a$ (caso existirem) formam uma classe residual m\u00f3dulo $n$.\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $n\\in\\N$ um n\u00famero natural e seja $a\\in\\Z$. N\u00f3s definimos em uma aula anterior a classe residual (ou a classe de congru\u00eancia de $a$) m\u00f3dulo $n$ como \\[ \\overline a=\\{a+kn\\mid k\\in\\Z\\}=\\{b\\in\\Z\\mid b\\equiv a\\pmod n\\}. \\] Provamos ainda que $\\overline a=\\overline b$ se e somente se $a\\equiv b\\pmod n$. Assim h\u00e1 exatamente $n$ classes residuais m\u00f3dulo … Continue reading $\\Z_n$<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1417"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1417"}],"version-history":[{"count":17,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1417\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1926,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1417\/revisions\/1926"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1417"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}