{"id":1364,"date":"2021-11-02T11:35:37","date_gmt":"2021-11-02T14:35:37","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1364"},"modified":"2023-01-06T14:44:33","modified_gmt":"2023-01-06T17:44:33","slug":"a-teorema-fundamental-da-aritmetica","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/a-teorema-fundamental-da-aritmetica\/","title":{"rendered":"O Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica"},"content":{"rendered":"
\n
\nTodo n\u00famero natural $n\\geq 2$, pode ser decomposto em um produto de primos positivos. Al\u00e9m disso, esta decomposi\u00e7\u00e3o de $n$ \u00e9 \u00fanica a menos da ordem dos fatores.<\/div>\n
\nExist\u00eancia.<\/strong> N\u00f3s provaremos por indu\u00e7\u00e3o em $n$. Na base da indu\u00e7\u00e3o, seja $n$ um primo. Neste caso, $n$ pode ser considerado como o produto de um \u00fanico fator que \u00e9 primo.<\/p>\n

Assuma agora que $n$ \u00e9 composto (em particular, $n\\geq 4$) e que a afirma\u00e7\u00e3o da exist\u00eancia do teorema \u00e9 verdadeira para n\u00fameros menores que $n$. Como $n$ \u00e9 composto, podemos escrever $n=n_1n_2$ onde $2\\leq n_1,n_2 < n$ e pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o, os n\u00fameros $n_1$ e $n_2$ podem ser escritos como
\n\\[
\nn_1=p_1\\cdots p_r\\quad\\mbox{e}\\quad n_2=q_1\\cdots q_s
\n\\]
\nonde $p_1,\\ldots,p_r,q_1,\\ldots,q_s$ s\u00e3o primos positivos. Ora
\n\\[
\nn=n_1n_2=p_1\\cdots p_rq_1\\cdots q_s;
\n\\]
\nou seja, $n$ \u00e9 produto de primos positivos.<\/p>\n

Unicidade.<\/strong> Assuma que $n\\geq 2$ e
\n\\[
\nn=p_1p_2\\cdots p_r=q_1q_2\\cdots q_s
\n\\]
\nonde os $p_i$ e os $q_j$ s\u00e3o primos positivos. Assuma ainda sem perder generalidade que $r\\leq s$. N\u00f3s precisamos provar que $r=s$ e que os primos que aparecem na primeira fatora\u00e7\u00e3o s\u00e3o os mesmos que aparecem na segunda. Provaremos isso por indu\u00e7\u00e3o em $r$.<\/p>\n

Na base da indu\u00e7\u00e3o, assuma que $r=1$. Neste caso, $n=p_1$ \u00e9 primo, e segue pela defini\u00e7\u00e3o de n\u00fameros primos que $s=1$ e que $p_1=q_1$. Logo, a unicidade est\u00e1 verificada.<\/p>\n

Assuma agora que $r\\geq 2$ e a unicidade \u00e9 v\u00e1lida para n\u00fameros com menos que $r$ fatores. Temos pela primeira fatora\u00e7\u00e3o que $p_1\\mid n$, e como $p_1$ \u00e9 primo isso implica que $p_1\\mid q_i$ com algum $i$. Mas como $p_1$ e $q_i$ s\u00e3o primos positivos segue que $p_1=q_i$. Depois de possivelmente reordenar os fatores $q_1,\\ldots,q_s$, podemos assumir sem perder generalidade que $p_1=q_1$. Neste caso
\n\\[
\nn=p_1p_2\\cdots p_r=p_1q_2\\cdots q_s
\n\\]
\ne obtemos pela lei cancelativa que
\n\\[
\np_2\\cdots p_r=q_2\\cdots q_s.
\n\\]
\nOra, o n\u00famero na \u00faltima equa\u00e7\u00e3o possui uma fatora\u00e7\u00e3o com $r-1$ fatores. Portanto, pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o, $r-1=s-1$ e os fatores $p_2,\\ldots,p_r$ e $q_2,\\ldots,q_s$ s\u00e3o os mesmos a menos da sua ordem. Isso implica que $r=s$ e que os fatores $p_1,\\ldots,p_r$ e $q_1,\\ldots,q_s$ s\u00e3o os mesmos a menos da sua ordem.<\/p>\n<\/div>\n

Por exemplo, se $n=15$, ent\u00e3o obtemos duas decomposi\u00e7\u00f5es que satisfazem a afirma\u00e7\u00e3o do Teorema:
\n\\[
\n15=3\\cdot 5=5\\cdot 3.
\n\\]
\nMas estas duas decomposi\u00e7\u00f5es s\u00e3o consideradas id\u00eanticas, pois elas diferem-se apenas na ordem dos fatores. Note que permitindo primos positivos e negativos, obtemos quatro fatora\u00e7\u00f5es, nomeadamente,
\n\\[
\n15=3\\cdot 5=5\\cdot 3=(-3)\\cdot(-5)=(-5)\\cdot(-3).
\n\\]
\nO Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica pode ser estendido para n\u00fameros negativos por afirmar que se $n\\in\\Z$ com $n\\leq -2$, ent\u00e3o
\n\\[
\nn=-p_1\\cdots p_r
\n\\]
\nonde os $p_i$ s\u00e3o primos positivos e eles s\u00e3o \u00fanicos a menos da ordem dos fatores.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Todo n\u00famero natural $n\\geq 2$, pode ser decomposto em um produto de primos positivos. Al\u00e9m disso, esta decomposi\u00e7\u00e3o de $n$ \u00e9 \u00fanica a menos da ordem dos fatores. Exist\u00eancia. N\u00f3s provaremos por indu\u00e7\u00e3o em $n$. Na base da indu\u00e7\u00e3o, seja $n$ um primo. Neste caso, $n$ pode ser considerado como o produto de um \u00fanico … Continue reading O Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1364"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1364"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1364\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1982,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1364\/revisions\/1982"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1364"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}