{"id":1359,"date":"2021-11-01T07:55:51","date_gmt":"2021-11-01T10:55:51","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1359"},"modified":"2023-01-06T14:44:18","modified_gmt":"2023-01-06T17:44:18","slug":"numeros-primos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/numeros-primos\/","title":{"rendered":"N\u00fameros primos"},"content":{"rendered":"
\n
\nUm n\u00famero inteiro $n$ diferente de $\\pm 1$ e de $0$ \u00e9 dito primo<\/em> se os \u00fanicos divisores de $n$ s\u00e3o $\\pm 1$ e $\\pm n$. No caso contr\u00e1rio, o n\u00famero \u00e9 dito composto<\/em>. Os n\u00fameros $1$, $-1$, e $0$ n\u00e3o s\u00e3o considerados nem primos nem compostos.<\/div>\n

Por exemplo, o n\u00famero $-5$ \u00e9 primo, pois ele \u00e9 divis\u00edvel por apenas $\\pm 1$ e $\\pm 5$. O n\u00famero $6$ \u00e9 composto, pois ele \u00e9 divis\u00edvel, por exemplo, por $2$. \u00c9 f\u00e1cil verificar que um n\u00famero $n$ \u00e9 primo (composto) se e somente se $-n$ \u00e9 primo (composto).<\/p>\n

A demonstra\u00e7\u00e3o do seguinte resultado \u00e9 imediato da defini\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros primos.<\/p>\n

\nTodo n\u00famero diferente de $1$ ou $-1$ \u00e9 divis\u00edvel por um primo.<\/div>\n

A seguinte \u00e9 uma propriedade importante dos n\u00fameros primos.<\/p>\n

\nSejam $p$ um primo e $a,b\\in\\Z$ tais que $p\\mid ab$. Ent\u00e3o $p\\mid a$ ou $p\\mid b$.<\/div>\n
Assuma que as condi\u00e7\u00f5es do Teorema est\u00e3o v\u00e1lidas e que $p\\nmid a$. Ent\u00e3o $\\mdc pa=1$ e obtemos do Algoritmo de Euclides que existem $u,v\\in\\Z$ tais que $up+va=1$. Multiplicando por $b$, obtemos que
\n\\[
\nupb+vab=b.
\n\\]
\nComo $p$ divide $ab$, o n\u00famero $p$ divide $vab$, ent\u00e3o $p$ divide as duas parcelas no lado esquerdo da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o. Mas isso implica que $p\\mid b$.<\/div>\n

Se $n$ \u00e9 um n\u00famero grande (centenas ou milhares de d\u00edgitos), ent\u00e3o pode ser dif\u00edcil verificar se $n$ \u00e9 primo. O primeiro algoritmo teoricamente eficaz<\/a> para testar primalidade de um n\u00famero grande foi apresentado por Manindra Agrawal<\/a>, Neeraj Kayal<\/a> e Nitin Saxena<\/a> em 2002. Este algoritmo \u00e9 conhecido como o Algoritmo AKS.<\/p>\n

O seguinte teorema foi conhecido j\u00e1 na antiguidade por Euclides<\/a>.<\/p>\n

Existem infinitos primos.<\/div>\n
Suponha com o objetivo de obter uma contradi\u00e7\u00e3o que existem apenas finitos primos. Vamos ent\u00e3o fazer uma lista dos primos positivos: $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5,\\ldots,p_m$. Considere o n\u00famero
\n\\[
\nN=p_1p_2p_3\\cdots p_m+1.
\n\\]
\nOra $N$ \u00e9 positivo e \u00e9 maior que dois. Al\u00e9m disso, $N$ deve ser divis\u00edvel por algum primo $p$. Por outro lado, os primos $p_1,\\ldots,p_m$ n\u00e3o dividem $N$, pois o resto de $N$ quando for dividido por estes primos \u00e9 igual a $1$. Isto implica que $p$ precisa ser um novo primo que n\u00e3o est\u00e1 na suposta lista de todos os primos. Isto \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o que significa que a nossa suposi\u00e7\u00e3o foi errada; ou seja, o n\u00famero dos primos precisa ser infinito.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Um n\u00famero inteiro $n$ diferente de $\\pm 1$ e de $0$ \u00e9 dito primo se os \u00fanicos divisores de $n$ s\u00e3o $\\pm 1$ e $\\pm n$. No caso contr\u00e1rio, o n\u00famero \u00e9 dito composto. Os n\u00fameros $1$, $-1$, e $0$ n\u00e3o s\u00e3o considerados nem primos nem compostos. Por exemplo, o n\u00famero $-5$ \u00e9 primo, pois … Continue reading N\u00fameros primos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1359"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1359"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1359\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1981,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1359\/revisions\/1981"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1359"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}