{"id":1336,"date":"2021-10-23T11:54:00","date_gmt":"2021-10-23T14:54:00","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1336"},"modified":"2023-01-06T14:44:07","modified_gmt":"2023-01-06T17:44:07","slug":"proporiedades-do-mdc","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/proporiedades-do-mdc\/","title":{"rendered":"Proporiedades do MDC"},"content":{"rendered":"
\nO \u00faltimo resultado na p\u00e1gina do Algoritmo de Euclides implica v\u00e1rias propriedades importantes do MDC.<\/p>\n
\nSejam $a,b,c\\in\\Z\\setminus\\{0\\}$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n
    \n
  1. Se $c\\mid ab$ e $\\mdc bc=1$, ent\u00e3o $c\\mid a$.<\/li>\n
  2. Se $\\mdc ac=\\mdc bc=1$, ent\u00e3o $\\mdc {ab}c=1$.<\/li>\n
  3. Se $\\mdc ab=d$, ent\u00e3o $\\mdc{a\/d}{b\/d}=1$.<\/li>\n
  4. Se $a\\mid c$ e $b\\mid c$, ent\u00e3o $(ab\/\\mdc ab)\\mid c$.<\/li>\n
  5. Se $a\\mid c$, $b\\mid c$ e $\\mdc ab=1$, ent\u00e3o $ab\\mid c$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n1. Como $\\mdc bc=1$, existem $u,v\\in\\Z$ tais que $ub+vc=1$. Multiplique esta igualdade por $a$ para obter
    \n\\[
    \na=uab+vac.
    \n\\]
    \nComo $c\\mid ab$, o lado direito da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por $c$, e assim $c\\mid a$.<\/p>\n

    2. Seja $d=\\mdc{ab}c$. Como $\\mdc ac=1$, existem $u,v\\in\\Z$ tais que
    \n\\[
    \n1=ua+vc.
    \n\\]
    \nMultiplique os dois lados desta igualdade por $b$ e obtenha
    \n\\[
    \nb=uab+vbc.
    \n\\]
    \nPela defini\u00e7\u00e3o de $d$, tem-se que $d\\mid c$ e $d\\mid ab$. Logo, pela \u00faltima igualdade, obtemos que $d\\mid b$. Logo $d\\mid \\mdc bc=1$; ou seja $d=\\mdc{ab}c=1$.<\/p>\n

    3. Seja $d=\\mdc ab$. Existem inteiros $q_1,q_2\\in\\Z$ tais que
    \n\\[
    \na=q_1d\\quad\\mbox{e}\\quad b=q_2d.
    \n\\]
    \nAl\u00e9m disso existem $u,v\\in\\Z$ tais que
    \n\\[
    \nd=ua+vb=uq_1d+vq_2d.
    \n\\]
    \nDividindo os dois lados por $d$, obtemos que
    \n\\[
    \n1=uq_1+vq_2.
    \n\\]
    \nNote que se $d_1=\\mdc{q_1}{q_2}$, ent\u00e3o $d_1\\mid 1$, logo $d_1=1$. Portanto
    \n\\[
    \n\\mdc{a\/d}{b\/d}=\\mdc{q_1}{q_2}=1.
    \n\\]<\/p>\n

    4. Seja $d=\\mdc ab$. Existem $u,v\\in\\Z$ tais que
    \n\\[
    \nd=ua+vb.
    \n\\]
    \nMultiplicando por $c$,
    \n\\[
    \ncd=uac+vbc.
    \n\\]
    \nPelas condi\u00e7\u00f5es, existem inteiros $q_1$, $q_2$ tais que $c=aq_1=bq_2$ e assim
    \n\\[
    \ndc=uabq_2+vbaq_1=ab(uq_2+vq_1);
    \n\\]
    \nou seja
    \n\\[
    \nc=\\frac{ab}d(uq_2+vq_1).
    \n\\]
    \nIsso implica que $ab\/d\\mid c$.<\/p>\n

    5. Segue da afirma\u00e7\u00e3o 4.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    O \u00faltimo resultado na p\u00e1gina do Algoritmo de Euclides implica v\u00e1rias propriedades importantes do MDC. Sejam $a,b,c\\in\\Z\\setminus\\{0\\}$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras. Se $c\\mid ab$ e $\\mdc bc=1$, ent\u00e3o $c\\mid a$. Se $\\mdc ac=\\mdc bc=1$, ent\u00e3o $\\mdc {ab}c=1$. Se $\\mdc ab=d$, ent\u00e3o $\\mdc{a\/d}{b\/d}=1$. Se $a\\mid c$ e $b\\mid c$, ent\u00e3o $(ab\/\\mdc ab)\\mid c$. Se $a\\mid … Continue reading Proporiedades do MDC<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1336"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1336"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1336\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1980,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1336\/revisions\/1980"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1336"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}