{"id":1322,"date":"2021-10-22T17:45:53","date_gmt":"2021-10-22T20:45:53","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1322"},"modified":"2023-01-06T14:43:34","modified_gmt":"2023-01-06T17:43:34","slug":"o-maior-divisor-comum","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/o-maior-divisor-comum\/","title":{"rendered":"O maior divisor comum"},"content":{"rendered":"
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\nSejam $a$ e $b$ n\u00fameros inteiros n\u00e3o simultaneamente iguais a zero. Definimos o maior divisor comum de $a$ e $b$<\/em> como sendo o inteiro $d$ que satisfaz as seguintes propriedades:<\/p>\n
    \n
  1. $d\\geq 0$;<\/li>\n
  2. $d|a$ e $d|b$;<\/li>\n
  3. se $c$ \u00e9 um inteiro tal que $c|a$ e $c|b$ ent\u00e3o $c|d$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n

    N\u00e3o \u00e9 imediatamente claro da defini\u00e7\u00e3o que o maior divisor comum existe (isso ser\u00e1 verificado depois). No entanto, o seguinte lema \u00e9 v\u00e1lido<\/p>\n

    Se o maior divisor comum de dois n\u00fameros $a,b\\in\\Z$ existir, ent\u00e3o ele \u00e9 \u00fanico.<\/div>\n
    \nSe $d_1$ e $d_2$ s\u00e3o ambos maiores divisores comuns de $a$ e $b$, ent\u00e3o a defini\u00e7\u00e3o implica que $d_1|d_2$ e $d_2|d_1$. Ora temos por um lema anterior que $d_1=\\pm d_2$, mas como $d_1$ e $d_2$ s\u00e3o n\u00e3o negativos, isso \u00e9 poss\u00edvel apenas quando $d_1=d_2$.<\/div>\n

    O maior divisor comum de $a$ e $b$ (quando existir) ser\u00e1 denotado por $\\mdc ab$.<\/p>\n

    \nAs seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras para $a,b\\in\\Z$.<\/p>\n