{"id":1269,"date":"2021-10-13T09:17:14","date_gmt":"2021-10-13T12:17:14","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1269"},"modified":"2023-01-06T14:42:50","modified_gmt":"2023-01-06T17:42:50","slug":"criterios-de-divisibilidade","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/criterios-de-divisibilidade\/","title":{"rendered":"Crit\u00e9rios de divisibilidade"},"content":{"rendered":"
\nSeja $a$ um n\u00famero natural escrito na base $10$ (decimal) como
\n\\[
\na=[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]_{10}=[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0].
\n\\]
\n\u00c9 bem conhecido que, para alguns valores de $b$, a divisibilidade de $a$ por $b$ pode ser determinado olhando apenas os d\u00edgitos de $a$.<\/p>\n
\nDemonstre que para todo $i\\geq 0$, existe $q_i\\in\\N_0$ tal que $10^i=3q_i+1$.<\/div>\n
(Crit\u00e9rios de divisibilidade)
\nAs seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras para um n\u00famero natural $a=[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]$ escrito na base decimal.<\/p>\n
    \n
  1. $2\\mid a$ se e somente se $2\\mid a_0$;<\/li>\n
  2. $3\\mid a$ se e somente se $3\\mid a_n+a_{n-1}+\\cdots+a_0$;<\/li>\n
  3. $4\\mid a$ se e somente se $4\\mid [a_1a_0]$;<\/li>\n
  4. $5\\mid a$ se e somente se $5\\mid a_0$;<\/li>\n
  5. $7\\mid a$ se e somente se $7\\mid [a_n\\cdots a_1]-2a_0$;<\/li>\n
  6. $8\\mid a$ se e somente se $8\\mid [a_2a_1a_0]$;<\/li>\n
  7. $9\\mid a$ se e somente se $9\\mid a_n+a_{n-1}+\\cdots+a_0$;<\/li>\n
  8. $10\\mid a$ se e somente se $10\\mid a_0$ (ou seja, $a_0=0$);<\/li>\n
  9. $11\\mid a$ se e somente se $11\\mid (-1)^na_n+(-1)^{n-1}a_{n-1}+\\cdots-a_1+a_0$;<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nDemonstraremos algumas destas afirma\u00e7\u00f5es, o resto ser\u00e1 exerc\u00edcio.<\/p>\n

    1. Considere que
    \n\\begin{align*}
    \na&=[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]=\\sum_{k=0}^n10^ka_k=10\\left(\\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k\\right)+a_0\\\\&=10q+a_0
    \n\\end{align*}
    \ncom
    \n\\[
    \nq=\\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k\\in\\mathbb N.
    \n\\]
    \nComo $2\\mid 10$, obtemos que o n\u00famero $a$ \u00e9 divis\u00edvel por $2$ se e somente se o algarismo $a_0$ \u00e9 divis\u00edvel por $2$.<\/p>\n

    3. Temos, pelo exerc\u00edcio antes do teorema, para todo $i\\geq 0$, existe $q_i\\in\\N_0$ tal que $10^i=3q_i+1$. Agora considere
    \n\\begin{align*}
    \na&=[a_n\\cdots a_1a_0]=\\sum_{k=0}^n 10^ka_k=\\sum_{k=0}^n (3q_k+1)a_k\\\\&=3\\sum_{k=0}^nq_ka_k+
    \n\\sum_{k=0}^na_k.
    \n\\end{align*}
    \nNo \u00faltima express\u00e3o, a primeira parcela \u00e9 um m\u00faltiplo de $3$. Logo $a$ \u00e9 divis\u00edvel por $3$ se e somente se a segunda parcela na \u00faltima express\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por $3$, mas esta segunda parcela \u00e9 justamente a soma dos d\u00edgitos de $a$.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $a$ um n\u00famero natural escrito na base $10$ (decimal) como \\[ a=[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]_{10}=[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]. \\] \u00c9 bem conhecido que, para alguns valores de $b$, a divisibilidade de $a$ por $b$ pode ser determinado olhando apenas os d\u00edgitos de $a$. Demonstre que para todo $i\\geq 0$, existe $q_i\\in\\N_0$ tal que $10^i=3q_i+1$. (Crit\u00e9rios de divisibilidade) As … Continue reading Crit\u00e9rios de divisibilidade<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1269"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1269"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1269\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1976,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1269\/revisions\/1976"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1269"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}