{"id":1263,"date":"2021-10-12T18:22:52","date_gmt":"2021-10-12T21:22:52","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1263"},"modified":"2023-01-06T14:43:05","modified_gmt":"2023-01-06T17:43:05","slug":"expansao-decimal-de-numeros-racionais","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/expansao-decimal-de-numeros-racionais\/","title":{"rendered":"Expans\u00e3o decimal de n\u00fameros racionais"},"content":{"rendered":"
\nComecemos por um resultado conhecido de c\u00e1lculo.<\/p>\n
Se $|q| <1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie
\n\\[
\n\\sum_{n=0}^\\infty q^n
\n\\]
\n\u00e9 convergente e a sua soma \u00e9 igual a
\n\\[
\n\\frac{1}{1-q}.
\n\\]<\/div>\n
Exerc\u00edcio<\/div>\n

No bloco anterior, estudamos expans\u00f5es de n\u00fameros naturais na base $b$. Escrevemos naturais na base $b$ como $[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]_b$. Quando $b=10$, escrevemos o mesmo n\u00famero como $[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]$ (sem explicitamente indicar a base).<\/p>\n

Uma fra\u00e7\u00e3o decimal (ou expans\u00e3o decimal) n\u00e3o negativa \u00e9 uma sequ\u00eancia (possivelmente infinita) de algarismos na forma $[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}\\cdots]$ onde $a_{i}\\in\\{0,\\ldots,9\\}$. O n\u00famero representado pela fra\u00e7\u00e3o \u00e9
\n\\begin{align*}
\na&=\\sum_{k=n}^{-\\infty}a_k10^k=\\sum_{k=0}^n a_k10^k+\\sum_{k=1}^{\\infty}a_{-k}10^{-k}\\\\&=
\n[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]+\\sum_{k=1}^{\\infty}a_{-k}10^{-k}.
\n\\end{align*}
\nA express\u00e3o acima mostra que cada fra\u00e7\u00e3o decimal n\u00e3o negativa pode ser escrita como a soma de um n\u00famero natural e uma fra\u00e7\u00e3o decimal na forma $[0,a_{-1}a_{-2}\\cdots]$. Como os n\u00fameros naturais foram tratados na unidade anterior, aqui vamos focar apenas fra\u00e7\u00f5es na forma $[0,a_{-1}a_{-2}\\cdots]$. Uma fra\u00e7\u00e3o natural desta forma pode ser finita ou infinita. Quando a sequ\u00eancia de algarismos depois da v\u00edrgula \u00e9 infinita, ent\u00e3o a fra\u00e7\u00e3o \u00e9 infinita; caso contr\u00e1rio a fra\u00e7\u00e3o \u00e9 finita. Uma fra\u00e7\u00e3o finita pode ser escrita na forma $[0,a_{-1}a_{-2}\\cdots a_{-n}]$. Note que uma fra\u00e7\u00e3o finita pode ser considerada infinita adicionando uma sequ\u00eancia infinita de zeros e assim n\u00f3s frequentemente assumimos que as fra\u00e7\u00f5es analizadas s\u00e3o infinitas.<\/p>\n

Para qualquer sequ\u00eancia (possivelmente infinita) de algarismos, a expans\u00e3o $[0,a_{1}a_{2}\\cdots]$ representa um n\u00famero real entre zero e um.<\/div>\n
Precisa provar que a s\u00e9rie
\n\\[
\n\\sum_{k=1}^\\infty a_{k}10^{-k}
\n\\]
\n\u00e9 convergente e converge a um n\u00famero entre zero e um. Como $0\\leq a_i\\leq 9$ para todo $i$, obtemos que
\n\\[
\n\\sum_{k=1}^\\infty a_{k}10^{-k}\\leq\\sum_{k=1}^\\infty 9\\cdot 10^{-k}=\\frac 9{10}\\sum_{k=0}^\\infty 10^{-k}=\\frac 9{10}\\frac 1{1-1\/10}=1.
\n\\]
\nComo os termos da s\u00e9rie na \u00faltima linha s\u00e3o n\u00e3o negativas, a conta acima mostra que a s\u00e9rie que corresponde \u00e0 expans\u00e3o $[0,a_{1}a_{2}\\cdots]$ \u00e9 convergente e converge a um n\u00famero n\u00e3o negativo menor ou igual a $1$.<\/div>\n

Note que o mesmo n\u00famero real pode ser escrito de maneiras distintas como fra\u00e7\u00e3o decimal. Por exemplo, $1,00\\cdots=0,99\\cdots$.<\/p>\n

Considere a fra\u00e7\u00e3o decimal $[0,a_{1}a_{2}\\cdots]$. Esta fra\u00e7\u00e3o chama-se peri\u00f3dica se existem $m\\geq 0$ e $r\\geq 1$ tais que $a_{r+k}=a_k$ para todo $k> m$. A sequ\u00eancia $[a_1\\cdots a_m]$ chama-se pr\u00e9-per\u00edodo, enquanto a sequ\u00eancia $[a_{m+1}\\cdots a_{m+r}]$ chama-se per\u00edodo da fra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Uma fra\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica com pr\u00e9-per\u00edodo $[a_1\\cdots a_m]$ e per\u00edodo $[a_{m+1}\\cdots a_{m+r}]$ tem a forma
\n\\[
\n[0,a_1\\cdots a_ma_{m+1}\\cdots a_{m+r}a_{m+1}\\cdots a_{m+r}\\cdots];
\n\\]
\nou seja, a fra\u00e7\u00e3o come\u00e7a com a sequ\u00eancia $[a_1\\cdots a_m]$ e depois a sequ\u00eancia $[a_{m+1}\\cdots a_{m+r}]$ est\u00e1 se repetindo. Neste caso escrevemos a fra\u00e7\u00e3o como
\n\\[
\n[0,a_1\\cdots a_m\\overline{a_{m+1}\\cdots a_{m+r}}].
\n\\]
\nPor exemplo
\n\\[
\n1\/44=0,02272727\\cdots=0,02\\overline{27}.
\n\\]<\/p>\n

\nAs seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n
    \n
  1. Toda expans\u00e3o decimal peri\u00f3dica representa um n\u00famero racional.<\/li>\n
  2. Se $a\/b$ \u00e9 um n\u00famero racional tal que $0<a<b$, ent\u00e3o sua expans\u00e3o decimal \u00e9 peri\u00f3dica<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    1. Considere a expans\u00e3o decimal
    \n\\[
    \n[0,a_1a_2\\cdots]=[0,a_1a_2\\cdots a_m\\overline{a_{m+1}\\cdots a_{m+r}}]
    \n\\]
    \ne seja $a$ o n\u00famero representado por esta expans\u00e3o. Pelo lema anterior, $0\\leq a\\leq 1$. Sejam $u$ e $v$ os n\u00fameros naturais
    \n\\[
    \nu=[a_1a_2\\cdots a_m]\\quad\\mbox{e}\\quad v=[a_{m+1}\\cdots a_{m+r}].
    \n\\]
    \nTem-se que
    \n\\begin{align*}
    \na&=\\sum_{k=1}^\\infty a_k10^{-k}=\\frac u{10^{m}}+\\sum_{k=1}^\\infty \\frac{v}{10^{m+kr}}\\\\&=\\frac u{10^{m}}+\\frac{v}{10^{m+r}}\\sum_{k=0}^\\infty \\frac{1}{10^{kr}}=\\frac{u}{10^{m}}+\\frac{v}{10^{m+r}}\\frac{1}{1-10^{-r}}.
    \n\\end{align*}
    \nOra note apenas que o n\u00famero no lado direito da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o \u00e9 um n\u00famero racional.<\/p>\n

    2. Assuma que $0< a<b$ e considere o racional $q=a\/b$. Vamos determinar a sequ\u00eancia de algarismos para $q$. Seja $a_0=a$, $q_0=0$ e escreva, usando o Teorema de Divis\u00e3o de Euclides,
    \n\\[
    \n10a_0=q_1b+a_1\\quad\\mbox{onde}\\quad 0\\leq a_1<b.
    \n\\]
    \nAssuma que as sequ\u00eancias $a_0,\\ldots,a_k$ e $q_0,\\ldots,q_k$ s\u00e3o determinadas, e defina $q_{k+1}$ e $a_{k+1}$ pela equa\u00e7\u00e3o
    \n\\[
    \n10a_k=q_{k+1}b+a_{k+1}\\quad\\mbox{onde}\\quad 0\\leq a_{k+1}<b
    \n\\]
    \nusando o Teorema de Divis\u00e3o de Euclides.<\/p>\n

    Afirmamos que a expans\u00e3o decimal de $a\/b$ \u00e9 $[0,q_1q_2\\cdots]$. Para isso n\u00f3s precisamos verificar que
    \n\\[
    \n\\sum_{k=1}^\\infty q_k10^{-k}\\to \\frac ab.
    \n\\]
    \nDe fato, n\u00f3s provaremos que
    \n\\[
    \n10^k a=\\sum_{i=1}^k10^{k-i}q_ib+a_k
    \n\\]
    \nPara $k=1$, esta afirma\u00e7\u00e3o segue da express\u00e3o acima para $10a_0=10a$. Assuma que esta igualdade \u00e9 verdadeira para algum $k$. Ent\u00e3o
    \n\\begin{align*}
    \n10^{k+1}a&=10\\cdot 10^ka=10\\cdot\\left(\\sum_{i=1}^k10^{k-i}q_ib+a_k\\right)
    \n\\\\&=\\sum_{i=1}^{k}10^{k+1-i}q_ib+10a_k\\\\&=
    \n\\sum_{i=1}^{k}10^{k+1-i}q_ib+q_{k+1}b+a_{k+1}\\\\&=\\sum_{i=1}^{k+1}10^{k+1-i}q_ib+a_{k+1}.
    \n\\end{align*}
    \nEnt\u00e3o a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para todo $k$. Segue, para todo $k\\geq 1$, da mesma afirma\u00e7\u00e3o que
    \n\\[
    \n\\frac ab=\\sum_{i=1}^k10^{-i}q_i+a_k\/(10^kb)=[0,q_1\\cdots q_k]+\\frac{a_k}{10^kb};
    \n\\]
    \ne assim
    \n\\[
    \n\\frac ab-[0,q_1\\cdots q_k]=\\frac{a_k}{10^kb}<\\frac{b}{10^kb}=10^{-k}.
    \n\\]
    \nIsso implica que a sequ\u00eancia $[0,q_1\\cdots q_k]$ converge para $a\/b$ quando $k\\to\\infty$ e ent\u00e3o a expans\u00e3o do n\u00famero racional $a\/b$ \u00e9 $[0,q_1q_2\\cdots]$.<\/p>\n

    Finalmente precisamos provar que a expans\u00e3o $[0,q_1q_2\\cdots]$ de $a\/b$ \u00e9 peri\u00f3dica. Para isso, note que a sequ\u00eancia $a_1,a_2,\\ldots$ \u00e9 uma sequ\u00eancia de n\u00fameros naturais com $a_i\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$ para todo $i$. Ent\u00e3o vai existir $m$ e $r$ tal que $a_{m+r}=a_m$. Logo
    \n\\[
    \nq_{m+r+1}b+a_{m+r+1}=10a_{m+r}=10a_m=q_{m+1}b+a_{m+1}.
    \n\\]
    \nObtemos pela unicidade na Teorema de Divis\u00e3o de Euclides que $q_{m+r+1}=q_{m+1}$ e $a_{m+r+1}=a_{m+1}$. Similarmente, $q_{m+r+2}=q_{m+2}$ e $a_{m+r+2}=a_{m+2}$ e mais geralmente
    \n\\[
    \nq_{k+r}=q_{k}\\quad e \\quad a_{k+r}=a_{k}.
    \n\\]
    \npara todo $k\\geq m+1$. Ou seja, a expans\u00e3o do n\u00famero $a\/b$ \u00e9 peri\u00f3doca.<\/p>\n<\/div>\n

    A demonstra\u00e7\u00e3o do resultado anterior d\u00e1 um algoritmo para calcular a expans\u00e3o de um n\u00famero natural $a\/b$ onde $0<a<b$. Considere por exemplo o racional $1\/54$. Seguindo a demonstra\u00e7\u00e3o do teorema para $a=1$ e $b=54$, fazemos a seguinte conta.\\begin{align*}
    \n10a=10=0\\cdot 54+10\\quad &\\Rightarrow\\quad q_1=0\\mbox{ e }a_1=10\\\\
    \n10a_1=100=1\\cdot 54+46\\quad &\\Rightarrow\\quad q_2=1\\mbox{ e }a_2=46\\\\
    \n10a_2=460=8\\cdot 54+28\\quad &\\Rightarrow\\quad q_3=8\\mbox{ e }a_3=28\\\\
    \n10a_3=280=5\\cdot 54+10\\quad &\\Rightarrow\\quad q_4=5\\mbox{ e }a_4=10\\\\
    \n10a_4=100=1\\cdot 54+46\\quad &\\Rightarrow\\quad q_5=1\\mbox{ e }a_5=46
    \n\\end{align*}
    \nObservamos que $a_4=a_1$ como foi previsto na demonstra\u00e7\u00e3o do teorema e a computa\u00e7\u00e3o vai se repetir a partir deste ponto. Obtemos ent\u00e3o que
    \n\\[
    \n\\frac 1{54}=0,0\\overline{185}.
    \n\\]<\/div>\n

    Obtemos tamb\u00e9m como consequ\u00eancia do teorema anterior que existem n\u00fameros irracionais no intervalo $[0,1]$. Por exemplo, considere o n\u00famero
    \n\\[
    \na=0,1010010001000010000010000001\\cdots.
    \n\\]
    \nPelo lema anterior, $a$ \u00e9 um n\u00famero real, mas a sua expans\u00e3o decimal n\u00e3o \u00e9 peri\u00f3doca, portanto este n\u00famero n\u00e3o \u00e9 racional.<\/p>\n

    Exatamente como a expans\u00e3o dos n\u00fameros naturais pode ser calculada em qualquer base $d\\geq 2$, a expans\u00e3o dos n\u00fameros racionais tamb\u00e9m pode ser calculada em bases $d$ tal que $d\\geq 2$. Os resultados em uma base arbitr\u00e1ria s\u00e3o muito similares aos resultados na base $d=10$ (caso decimal) e estes detalhes s\u00e3o omitidos. No entanto recomendamos que o leitor traduza os resultados acima para uma base $d\\neq 10$.<\/p>\n

    Computa\u00e7\u00e3o com Python<\/h3>\n

    Vamos implementar o algoritmo obtido na demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema na linguagem Python. De fato, n\u00f3s implementamos o algoritmo em qualquer base (n\u00e3o apenas na base decimal), pois a diferen\u00e7a \u00e9 muito pequena. Pretendemos escrever uma fun\u00e7\u00e3o que toma n\u00fameros naturais $a$, $b$, $d$ tais que $0<a<b$ e $d\\geq 2$ e devolve o pr\u00e9-per\u00edodo e o per\u00edodo da expans\u00e3o de $a\/b$ na base $d$.<\/p>\n

    \ndef ExpansaoDecimal( a, b, d ):\n    \n    # a \u00e9 menor que b\n    assert a<b\n    \n    #inicializamos as listas dos d\u00edgitos e restos\n    digitos, restos = [], [a]\n    \n    while True:\n        # calculamos o seguinte d\u00edgito a colocamos na lista\n        digitos.append( d*a\/\/b )\n        # calculamos o pr\u00f3ximo valor de a\n        a = d*a % b\n        # verificamos se a j\u00e1 apareceu entre os restos\n        if a in restos:\n            # se sim, ind ser\u00e1 o \u00edndice de a na lista restos\n            ind = restos.index( a )\n            # devolvemos a pr\u00e9-per\u00edodo e o per\u00edodo\n            return digitos[0:ind], digitos[ind:len(digitos)]\n            \n        restos.append(a)\n<\/code><\/pre>\n
    Podemos usar esta fun\u00e7\u00e3o para verificar a conta no Exemplo.<\/p>\n
    \n>>> ExpansaoDecimal( 1, 54, 10 )\n>>> ([0], [1, 8, 5])\n<\/code>\n<\/pre>\n
    Obtemos o mesmo resultado, nomeadamente que o pr\u00e9-per\u00edodo de $1\/54$ \u00e9 $[0]$ e o per\u00edodo \u00e9 $[185]$.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
    Comecemos por um resultado conhecido de c\u00e1lculo. Se $|q| <1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie \\[ \\sum_{n=0}^\\infty q^n \\] \u00e9 convergente e a sua soma \u00e9 igual a \\[ \\frac{1}{1-q}. \\] Exerc\u00edcio No bloco anterior, estudamos expans\u00f5es de n\u00fameros naturais na base $b$. Escrevemos naturais na base $b$ como $[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]_b$. Quando $b=10$, escrevemos o mesmo n\u00famero … Continue reading Expans\u00e3o decimal de n\u00fameros racionais<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1263"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1263"}],"version-history":[{"count":15,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1263\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1977,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1263\/revisions\/1977"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1263"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}