{"id":1241,"date":"2021-10-05T09:14:38","date_gmt":"2021-10-05T12:14:38","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1241"},"modified":"2023-08-24T10:36:20","modified_gmt":"2023-08-24T13:36:20","slug":"expansao-de-numeros-naturais-na-base-b-e-a-expansao-decimal-de-numeros-racionais","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/expansao-de-numeros-naturais-na-base-b-e-a-expansao-decimal-de-numeros-racionais\/","title":{"rendered":"Expans\u00e3o de n\u00fameros naturais na base $b$"},"content":{"rendered":"
\n

Expans\u00e3o de naturais na base $b$<\/h3>\n

N\u00fameros naturais s\u00e3o escritos normalmente como sequ\u00eancias de algarismos na base decimal. Por exemplo, a sequ\u00eancia $1056$ significa o n\u00famero
\n\\[
\n1\\cdot 1000+0\\cdot 100+5\\cdot 10+6.
\n\\]
\nMais geralmente, a sequ\u00eancia $[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]$ denota o n\u00famero
\n\\[
\n\\sum_{k=0}^n a_k\\cdot 10^k.
\n\\]<\/p>\n

\u00c9 poss\u00edvel fazer a mesma coisa em uma outra base $b$ assumindo que $b\\geq 2$.<\/p>\n

\nAssuma que $a$ e $b$ s\u00e3o n\u00fameros naturais e $b\\geq 2$. Ent\u00e3o $a$ pode ser escrito unicamente na forma
\n\\[
\na=[a_na_{n-1}\\cdots a_0]_b=\\sum_{k=0}^n a_kb^k
\n\\]
\nonde $n\\geq 0$ e $a_k\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$ para todo $k$.<\/div>\n

Os n\u00fameros $a_k$ s\u00e3o chamados de algarismos de $a$ na base $b$.<\/p>\n

\nExist\u00eancia.<\/strong> Usaremos indu\u00e7\u00e3o por $a$. Se $a\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$ ent\u00e3o $a$ pode ser escrito como $[a]_b$. Assuma agora que $a\\geq b$ e os n\u00fameros menores que $a$ podem ser escritos na base $b$. Usando o Teorema de Divis\u00e3o de Euclides, escreva $a=qb+a_0$ onde $0\\leq a_0\\leq b-1$. Como $b\\geq 2$, temos que $q<a$, e a hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o \u00e9 v\u00e1lida para $q$. Portanto
\nexistem $a_n,\\ldots,a_1\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$ tais que
\n\\[
\nq=[a_na_{n-1}\\cdots a_1]_b=\\sum_{k=1}^n a_kb^{k-1}
\n\\]
\ne
\n\\[
\na=bq+a_0=b\\left(\\sum_{k=1}^n a_kb^{k-1}\\right)+a_0=\\sum_{k=0}^n a_kb^{k}=[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]_b
\n\\]
\nEnt\u00e3o a express\u00e3o desejada para $a$ existe.<\/p>\n

Unicidade.<\/strong> Provaremos esta parte tamb\u00e9m por indu\u00e7\u00e3o em $a$. Se $a\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$, ent\u00e3o $a=[a]_b$ \u00e9 a \u00fanica expans\u00e3o de $a$ na base $b$. Assuma que $a\\geq b$ e assuma tamb\u00e9m que todo n\u00famero menor que $a$ possui \u00fanica expans\u00e3o na base $b$. Suponha que $a$ possui duas expans\u00f5es
\n\\[
\na=[a_n\\cdots a_1a_0]_b=\\sum_{k=0}^n a_kb^k
\n\\]
\ne
\n\\[
\na=[c_m\\cdots c_1c_0]_b=\\sum_{k=0}^m c_kb^k.
\n\\]
\nComo acima, escreva $a=qb+r$ onde $0\\leq r\\leq b-1$ e note que os n\u00fameros $q$ e $r$ s\u00e3o \u00fanicos. Pelas duas express\u00f5es para o n\u00famero $a$ obtemos que
\n\\[
\na=\\sum_{k=0}^n a_kb^k=b\\cdot\\left(\\sum_{k=1}^n a_kb^{k-1}\\right)+a_0
\n\\]
\ne
\n\\[
\na=\\sum_{k=0}^m c_kb^k=b\\cdot\\left(\\sum_{k=1}^m c_kb^{k-1}\\right)+c_0.
\n\\]
\nPela unicidade do resto no Teorema de Euclides, obtemos que $r=a_0=c_0$; ou seja, os \u00faltimos algarismos s\u00e3o determinados unicamento.<\/p>\n

Agora,
\n\\[
\nq=(a-r)\/b=\\sum_{k=1}^n a_kb^{k-1}=\\sum_{k=1}^m c_kb^{k-1};
\n\\]
\nou seja
\n\\[
\nq=[a_n\\cdots a_1]_b=[c_m\\cdots c_1]_b.
\n\\]
\nA hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o aplica-se para o n\u00famero $q$, e assim as as sequ\u00eancias
\n$[a_n\\cdots a_1]_b$ e $[c_m\\cdots c_1]_b$ s\u00e3o iguais. Portanto as duas expans\u00f5es para o n\u00famero $a$ s\u00e3o iguais como foi afirmado.<\/p>\n<\/div>\n

Seguindo a demonstra\u00e7\u00e3o do teorema anterior, obtemos um algoritmo para determinar a sequ\u00eancia dos d\u00edgitos de um n\u00famero natural em uma base $b$. Tome o n\u00famero $a=168$ e seja $b=5$.<\/p>\n

Passo 1:
\n\\[
\n168=33\\cdot 5+3,
\n\\]
\nportanto o \u00faltimo algarismo de $168$ \u00e9 $3$ e os demais algarismos s\u00e3o os algarismos de $33$.<\/p>\n

Passo 2:
\n\\[
\n33 = 6\\cdot 5+3.
\n\\]
\nLogo o pen\u00faltimo algarismo \u00e9 $3$ e os demais algarismos s\u00e3o os algarismos de $6$.<\/p>\n

Passo 3:
\n\\[
\n6=1\\cdot 5+1;
\n\\]
\nou seja, o seguinte algarismo \u00e9 $1$ e os demais algarismos s\u00e3o os algarismos de $1$.<\/p>\n

Passo 4:
\n\\[
\n1=0\\cdot 5+1
\n\\]
\nque diz que $1=[1]_5$.<\/p>\n

Juntando as pe\u00e7as, obtemos que $168=[1133]_5$.<\/p>\n<\/div>\n

Computa\u00e7\u00e3o com Python<\/h3>\n

Escrevemos uma fun\u00e7\u00e3o em Python<\/a> que vai realizar a computa\u00e7\u00e3o dos algarismos para um dado natural $a$ e base $b$.<\/p>\n

A primeira fun\u00e7\u00e3o \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o recursiva. A ideia \u00e9 a seguinte:<\/p>\n

    \n
  1. Se $a\\leq b-1$, ent\u00e3o $a$ tem \u00fanico algarismo e assim $a=[a]_b$;<\/li>\n
  2. Caso contr\u00e1rio, escreva $a=qp+a_0$ onde $a_0\\in\\{0,\\ldots,b-1\\}$. O \u00faltimo algarismo de $a$ ser\u00e1 $a_0$ e os demais algarismos ser\u00e3o os algarismos de $q$ que poderemos determinar, pois $q<a$.<\/li>\n<\/ol>\n
    \ndef NumeroEmBaseRecursivo( a, b ):\n    \n    # calcular quociente e resto de a por b\n    q, r = my_divmod( a, b )\n    \n    if q == 0:\n        # se q \u00e9 zero, temos \u00fanico d\u00edgito\n        digitos = [r]\n    else:\n        # caso contr\u00e1rio calculamos os d\u00edgitos de q\n        digitos = NumeroEmBaseRecursivo( q, b )\n        # adicionamos o \u00faltimo d\u00edgito\n        digitos.append( r )\n    \n    return digitos\n<\/code><\/pre>\n
    A fun\u00e7\u00e3o acima \u00e9 muito elegante, mas na pr\u00e1tica fun\u00e7\u00e3o recursiva deve ser evitada quando pode ser substitu\u00edda por uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o recursiva. A seguinte fun\u00e7\u00e3o faz a mesma computa\u00e7\u00e3o evitando recurs\u00e3o.<\/p>\n
    \ndef NumeroEmBase( a, b ):\n    \n    # inicializamos a lista de d\u00edgitos\n    digitos = []\n    \n    while a != 0:\n        # o d\u00edgito seguinte ser\u00e1 o \u00faltimo d\u00edgito de a\n        q, r = my_divmod( a, b )\n        digitos.insert( 0, r )\n        a = q\n    \n    return digitos\n<\/code><\/pre>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
    Expans\u00e3o de naturais na base $b$ N\u00fameros naturais s\u00e3o escritos normalmente como sequ\u00eancias de algarismos na base decimal. Por exemplo, a sequ\u00eancia $1056$ significa o n\u00famero \\[ 1\\cdot 1000+0\\cdot 100+5\\cdot 10+6. \\] Mais geralmente, a sequ\u00eancia $[a_na_{n-1}\\cdots a_1a_0]$ denota o n\u00famero \\[ \\sum_{k=0}^n a_k\\cdot 10^k. \\] \u00c9 poss\u00edvel fazer a mesma coisa em uma outra … Continue reading Expans\u00e3o de n\u00fameros naturais na base $b$<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1241"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1241"}],"version-history":[{"count":15,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1241\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2454,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1241\/revisions\/2454"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1241"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}