{"id":1196,"date":"2021-08-22T16:05:53","date_gmt":"2021-08-22T19:05:53","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1196"},"modified":"2023-08-24T10:32:23","modified_gmt":"2023-08-24T13:32:23","slug":"divisibilidade-entre-numeros-inteiros","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/divisibilidade-entre-numeros-inteiros\/","title":{"rendered":"Divisibilidade entre n\u00fameros inteiros"},"content":{"rendered":"<div style=\"color:black;\">\n<h4>Defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas<\/h4>\n<p>Os n\u00fameros naturais s\u00e3o os n\u00fameros $1$, $2$, $3$, etc. Alguns autores consideram o n\u00famero zero tamb\u00e9m natural, mas nesta disciplina os n\u00fameros naturais come\u00e7am com $1$. O conjunto dos n\u00fameros naturais \u00e9 denotado por $\\N$, enquanto $\\N_0$ denota o conjunto $\\{0\\}\\cup\\N$. Os n\u00fameros inteiros s\u00e3o os n\u00fameros naturais e os seus negativos. O conjunto dos n\u00fameros inteiros \u00e9 denotado por $\\Z$ (pela palavra <em>zahlen<\/em> em alem\u00e3o); ou seja<br \/>\n\\[<br \/>\n\\Z=\\{0,\\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\ldots\\}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<div class=\"definition\">Sejam $a,b\\in\\Z$. Dizemos que &#8220;$a$ divide $b$&#8221;, ou &#8220;$b$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $a$&#8221; ou &#8220;$b$ \u00e9 divis\u00edvel por $a$&#8221; se existir $q\\in\\Z$ tal que $b=qa$. Quando $a$ divide $b$, escrevemos $a\\mid b$, e quando $a$ n\u00e3o divide $b$, escrevemos $a\\nmid b$.<\/div>\n<div class=\"example\">\n<ul>\n<li>$2\\mid 4$, $-2\\mid 4$, $3\\nmid 5$;<\/li>\n<li>$a\\mid 0$ para todo $a\\in\\Z$; em particular $0\\mid 0$;<\/li>\n<li>$0\\nmid a$ para todo $a\\in\\Z\\setminus\\{0\\}$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>Quando $a,b\\in\\Z$ e $a\\mid b$, ent\u00e3o existe (por defini\u00e7\u00e3o), um $q\\in\\Z$ tal que $b=qa$. Se $a\\neq 0$, ent\u00e3o o n\u00famero $q$ \u00e9 \u00fanico e $q=b\/a$; ou seja, $q$ \u00e9 o quociente de $b$ por $a$. Quando $a=b=0$, temos que $a\\mid b$, mas o quociente $0\/0$ n\u00e3o \u00e9 definido.<\/p>\n<div class=\"lemma\">\n(As propriedades da divisibilidade.) Sejam $a,b,c\\in\\Z$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n<ol>\n<li>$a\\mid a$;<\/li>\n<li>se $a\\mid b$ e $b\\mid c$, ent\u00e3o $a\\mid c$;<\/li>\n<li>se $a\\mid b$ e $b\\mid a$., ent\u00e3o $a=\\pm b$;<\/li>\n<li>se $a\\mid b$, ent\u00e3o $a\\mid bc$;<\/li>\n<li>se $a\\mid b$ e $a\\mid c$, ent\u00e3o $a\\mid b\\pm c$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"proof\">\n<p>Demonstraremos apenas duas destas afirma\u00e7\u00f5es, o resto \u00e9 exerc\u00edcio.<\/p>\n<p>3. A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 trivialmente verdadeira pelas observa\u00e7\u00f5es anteriores quando $a=0$ ou $b=0$. Assumamos portanto que $a\\neq 0$ e $b\\neq 0$. Suponha que $a\\mid b$ e $b\\mid a$. Ent\u00e3o existem $q_1,q_2\\in\\Z$ tais que<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nb&amp;=q_1a;\\\\<br \/>\na&amp;=q_2b.<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nSubstituindo $b=q_1a$ na segunda equa\u00e7\u00e3o, obtemos que<br \/>\n\\[<br \/>\na=q_2b=q_2q_1a.<br \/>\n\\]<br \/>\nComo $a\\neq 0$, a \u00faltima equa\u00e7\u00e3o destacada implica que $q_2q_1=1$; ou seja (lembrando que $q_1$ e $q_2$ s\u00e3o inteiros) $q_1=q_2=1$ ou $q_1=q_2=-1$. Obtemos portanto que $a=\\pm b$.<\/p>\n<p>5. Assuma que $a\\mid b$ e $a\\mid c$. Existem $q_1,q_2\\in\\Z$ tais que $b=q_1a$ e $c=q_2a$. Isso implica que<br \/>\n\\[<br \/>\nb+c=q_1a+q_2a=(q_1+q_2)a;<br \/>\n\\]<br \/>\nou seja, $a\\mid b+c$. Pode-se modificar o argumento trivialmente para mostrar que $a\\mid b-c$.<\/p>\n<\/div>\n<h4>O Teorema da Divis\u00e3o de Euclides<\/h4>\n<div class=\"theorem\">(O Teorema da Divis\u00e3o de Euclides) Sejam $a,b\\in\\Z$ tais que $b\\neq 0$. Ent\u00e3o existem unicamente $q,r\\in\\Z$ tais que<br \/>\n\\[<br \/>\na=qb+r\\quad\\mbox{e}\\quad 0\\leq r&lt;|b|.<br \/>\n\\]<\/div>\n<div class=\"proof\"><strong>Exist\u00eancia.<\/strong> Suponha primeiro que $b$ \u00e9 positivo. Vamos demonstrar a exist\u00eancia primeiro para $a$ n\u00e3o negativo por indu\u00e7\u00e3o em $a$. Quando $a=0$, pode escolher $q=r=0$ e a afirma\u00e7\u00e3o sobre a exist\u00eancia destes n\u00fameros est\u00e1 v\u00e1lida. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o da exist\u00eancia \u00e9 verdadeira para algum $a\\geq 0$; ou seja existem $q,r\\in\\Z$ tais que $a=qb+r$ e $0\\leq r&lt;b$. O n\u00famero $a+1$ pode ser escrito como<br \/>\n\\[<br \/>\na+1=qb+r+1<br \/>\n\\]<br \/>\ne temos ainda que $1\\leq r+1\\leq b$. Se $r+1&lt;b$, ent\u00e3o a express\u00e3o para $a$ na equa\u00e7\u00e3o anterior \u00e9 como desejada. Por outro lado, se $r+1=b$, ent\u00e3o<br \/>\n\\[<br \/>\na+1=qb+r+1=qb+b=(q+1)b=(q+1)b+0<br \/>\n\\]<br \/>\ne obtemos uma express\u00e3o para $a+1$ que satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do teorema.Acabamos de provar a afirma\u00e7\u00e3o da exist\u00eancia para $a$ n\u00e3o negativo e $b$ positivo.<\/p>\n<p>Assuma agora que $a$ \u00e9 negativo, mas $b$ cont\u00ednua positivo. Como $-a$ \u00e9 positivo, o teorema est\u00e1 v\u00e1lido para $-a$ e $b$ e existem $q,r\\in\\Z$ tais que<br \/>\n\\[<br \/>\n-a=qb+r\\quad\\mbox{e}\\quad 0\\leq r&lt; b.<br \/>\n\\]<br \/>\nSe $r=0$, ent\u00e3o obtemos que $a=(-q)b+0$ que d\u00e1 a express\u00e3o procurada. Caso contr\u00e1rio, quando $0&lt;r&lt;b$, obtemos que<br \/>\n\\[<br \/>\na=(-q)b-r=(-q-1)b+(-r+b)\\quad\\mbox{e}\\quad 0&lt; -r+b&lt; b<br \/>\n\\]<br \/>\ncomo foi desejado.<\/p>\n<p>Agora consideremos os caso quando $b$ \u00e9 negativo e $a$ \u00e9 arbitr\u00e1rio. Neste caso $-b$ \u00e9 positivo e existem $q,r\\in\\Z$ tais que<br \/>\n\\[<br \/>\na=q(-b)+r\\quad\\mbox{e}\\quad 0\\leq r&lt; |b|<br \/>\n\\]<br \/>\ne isso implica que<br \/>\n\\[<br \/>\na=(-q)b+r\\quad\\mbox{e}\\quad 0\\leq r&lt; |b|<br \/>\n\\]<br \/>\ne podemos tomar os n\u00fameros $-q$ e $r$.<\/p>\n<p><strong>Unicidade.<\/strong> Assuma que para algum $a,b\\in\\Z$ (com $b\\neq 0$), temos $q_1,q_2,r_1,r_2\\in\\Z$ tais que<br \/>\n\\[<br \/>\na=q_1b+r_1\\quad\\mbox{e}\\quad 0\\leq r_1&lt;|b|<br \/>\n\\]<br \/>\ne<br \/>\n\\[<br \/>\na=q_2b+r_2\\quad\\mbox{e}\\quad 0\\leq r_2&lt;|b|.<br \/>\n\\]<br \/>\nAssuma sem perder generalidade que $r_2\\geq r_1$. Neste caso temos que $0\\leq r_2-r_1\\leq r_2&lt;|b|$ e das duas equa\u00e7\u00f5es anteriores obtemos tamb\u00e9m que<br \/>\n\\[<br \/>\n(q_1-q_2)b=(r_2-r_1).<br \/>\n\\]<br \/>\nComo $(q_1-q_2)b$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $b$, este n\u00famero s\u00f3 pode cair no intervalo $[0,|b|-1]$ se $(q_1-q_2)b=0$. Como $b\\neq 0$, a lei cancelativa implica que $q_1-q_2=0$; ou seja $q_1=q_2=q$. Ora<br \/>\n\\[<br \/>\na=qb+r_1=qb+r_2<br \/>\n\\]<br \/>\na aplicando a lei cancelativa aditivamente obtemos que $r_1=r_2$. Ent\u00e3o a decomposi\u00e7\u00e3o do n\u00famero $a$ no teorema \u00e9 \u00fanica.<\/p>\n<\/div>\n<p>Os n\u00fameros $q$ e $r$ s\u00e3o chamados do <mark>quociente<\/mark> e o <mark>resto<\/mark>, respetivamente, de $a$ por $b$.<\/p>\n<div class=\"example\">\nVamos ver alguns exemplos do quiciente $q$ e do resto $r$ no Teorema da Divis\u00e3o para alguns valores $a,b$. Pode-se verificar facilmente as seguintes afirma\u00e7\u00f5es.<\/p>\n<ol>\n<li> Se $a=13$ e $b=5$, ent\u00e3o $q=2$ e $r=3$.<\/li>\n<li> Se $a=-13$ e $b=5$, ent\u00e3o $q=-3$ e $r=2$.<\/li>\n<li> Se $a=13$ e $b=-5$, ent\u00e3o $q=-2$ e $r=3$.<\/li>\n<li> Se $a=-13$ e $b=-5$, ent\u00e3o $q=3$ e $r=2$.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Explique porque $r\\neq -3$ nos itens 2 e 4.<\/p>\n<\/div>\n<h3>Computa\u00e7\u00f5es com Python<\/h3>\n<p>Vamos ver agora como calcular o quociente e o resto na linguagem Python. O quociente de dois n\u00fameros naturais pode ser calculado por &#8220;\/\/&#8221; e o resto por &#8220;%&#8221;. Considere o seguinte exemplo:<\/p>\n<pre><code class=\"language-python-repl\">\n&gt;&gt;&gt; 11\/\/5\n2\n&gt;&gt;&gt; 11 % 5\n1\n<\/code><\/pre>\n<p>Normalmente usamos vari\u00e1veis para guardar os n\u00fameros que usamos na computa\u00e7\u00e3o. Refazemos a computata\u00e7\u00e3o anterior usando vari\u00e1veis:<\/p>\n<pre><code class=\"language-python-repl\">\n&gt;&gt;&gt; a = 11\n&gt;&gt;&gt; b = 5\n&gt;&gt;&gt; a\/\/b\n2\n&gt;&gt;&gt; a % b\n1\n<\/code><\/pre>\n<p>Verifiquemos que o quociente e o resto satisfaz a igualdade no Teorema da Divis\u00e3o:<\/p>\n<pre><code class=\"language-python-repl\">\n&gt;&gt;&gt; q = a\/\/b; r = a % b\n&gt;&gt;&gt; a == q*b+r\nTrue\n<\/code><\/pre>\n<p>Precisa-se prestar aten\u00e7\u00e3o quando trabalhamos com n\u00fameros negativos. Quando $a$ \u00e9 negativo e $b$ \u00e9 positivo, o quociente e o resto calculado por Python coincide com o que segue do Teorema.<\/p>\n<pre><code class=\"language-python-repl\">\n&gt;&gt;&gt; a = -11; b = 5\n&gt;&gt;&gt; a\/\/b\n-3\n&gt;&gt;&gt; a%b\n4\n<\/code><\/pre>\n<p>Mas quando $b$ for negativo, o Python devolve um resto negativo que n\u00e3o \u00e9 compat\u00edvel com nosso Teorema.<\/p>\n<pre><code class=\"language-python-repl\">\n&gt;&gt;&gt; a = 11; b = -5\n&gt;&gt;&gt; a\/\/b\n-3\n&gt;&gt;&gt; a%b\n-4\n<\/code><\/pre>\n<p>Nestes casos o output dado por Python precisa ser modificado para ser compat\u00edvel com o Teorema de Divis\u00e3o enunciado anteriormente.<\/p>\n<p>Python possui a fun\u00e7\u00e3o <a href=\"https:\/\/docs.python.org\/3\/library\/functions.html#divmod\"><code>divmod<\/code><\/a> que calcula o quociente e o resto no mesmo tempo. Quando precisa-se calcular os dois, o uso desta fun\u00e7\u00e3o \u00e9 prefer\u00edvel sobre usar as opera\u00e7\u00f5es <code>\/\/<\/code> e <code>%<\/code> separadamente.<\/p>\n<pre><code class=\"language-python-repl\">\n&gt;&gt;&gt; q, r = divmod( 11, 5 )\n&gt;&gt;&gt; q, r\n(2, 1)\n&gt;&gt;&gt; q, r = divmod( -11, 5 )\n&gt;&gt;&gt; q, r\n(-3, 4)\n&gt;&gt;&gt; q, r = divmod( 11, -5 )\n&gt;&gt;&gt; q, r \n(-3, -4)\n&gt;&gt;&gt; q, r = divmod( -11, -5 )\n&gt;&gt;&gt; q, r \n(2, -1)\n<\/code><\/pre>\n<p>A fun\u00e7\u00e3o <code>divmod<\/code> pode ser modificado para devolver o quociente e o resto que satisfaz a condi\u00e7\u00e3o do Teorema como foi enunciado por n\u00f3s.<\/p>\n<pre><code class=\"language-python\">\ndef my_divmod( a, b ):\n\n    # calculamos o quociente e resto com divmod\n    q, r = divmod( a, b )\n    \n    # se o resto \u00e9 n\u00e3o negativo, estamos pronto\n    if r &gt;= 0:\n        return q, r\n        # caso contr\u00e1rio, o resto \u00e9 negativo e devolvemos q e r modificados\n    else:\n        return q+1, r-b\n<\/code><\/pre>\n<p>O resultado devolvido por esta nova fun\u00e7\u00e3o est\u00e1 de acordo com a nossa defini\u00e7\u00e3o de quociente e resto.<\/p>\n<pre><code class=\"language-python-repl\">\n&gt;&gt;&gt; my_divmod(13,5)\n(2, 3)\n\n&gt;&gt;&gt; my_divmod(-13,5)\n(-3, 2)\n\n&gt;&gt;&gt; my_divmod(-13,-5)\n(3, 2)\n\n&gt;&gt;&gt; my_divmod(13,-5)\n(-2, 3)\n<\/code><\/pre>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas Os n\u00fameros naturais s\u00e3o os n\u00fameros $1$, $2$, $3$, etc. Alguns autores consideram o n\u00famero zero tamb\u00e9m natural, mas nesta disciplina os n\u00fameros naturais come\u00e7am com $1$. O conjunto dos n\u00fameros naturais \u00e9 denotado por $\\N$, enquanto $\\N_0$ denota o conjunto $\\{0\\}\\cup\\N$. 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