{"id":1084,"date":"2020-10-30T11:50:25","date_gmt":"2020-10-30T14:50:25","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1084"},"modified":"2020-11-01T15:38:42","modified_gmt":"2020-11-01T18:38:42","slug":"o-teorema-fundamental-da-teoria-de-galois","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/o-teorema-fundamental-da-teoria-de-galois\/","title":{"rendered":"O Teorema Fundamental da Teoria de Galois"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}\\newcommand{\\E}{\\mathbb E}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\fix}[1]{\\mbox{Fix}(#1)}\\newcommand{\\gal}[2]{\\mbox{Gal}(#1:#2)}\\newcommand{\\aut}[1]{\\mbox{Aut}(#1)}$N\u00f3s enunciaremos o teorema para corpos de carater\u00edstica zero, mas ressaltamos que o teorema \u00e9 v\u00e1lido com condi\u00e7\u00f5es mais gerais.<\/p>\n

Seja $\\E:\\F$ uma extens\u00e3o de corpos de carater\u00edstica zero. Dizemos que a extens\u00e3o \u00e9 normal\u00a0<\/em>se $\\E$ \u00e9 corpo de decomposi\u00e7\u00e3o de um polin\u00f4mio sobre $\\F$.<\/p>\n

O seguinte teorema ser\u00e1 enunciado sem demonstra\u00e7\u00e3o, embora a demonstra\u00e7\u00e3o n\u00e3o seja dif\u00edcil.<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $\\E:\\F$ uma extens\u00e3o normal e seja $f(x)\\in\\F[x]$ um polin\u00f4mio irredut\u00edvel. Se $f(x)$ possui uma raiz em $\\E$, ent\u00e3o $f(x)$ se decomp\u00f5e como produto de polin\u00f4mios lineares de $\\E[x]$.<\/p>\n

Teorema Fundamental da Teoria de Galois.\u00a0<\/strong>Seja $\\E:\\F$ uma extens\u00e3o normal de corpos de carater\u00edstica zero. Seja $\\K$ um subcorpo de $\\E$ tal que $\\F\\subseteq\\K$.<\/p>\n

    \n
  1. $\\E:\\K$ \u00e9 uma extens\u00e3o normal e $\\gal\\E\\K$ \u00e9 um subgrupo de $\\gal\\E\\F$.<\/li>\n
  2. $\\mbox{Fix}\\, \\gal\\E\\K=\\K$.<\/li>\n
  3. A extens\u00e3o $\\K:\\F$ \u00e9 normal se e somente se $\\gal\\E\\K$ \u00e9 um subgrupo normal de $\\gal\\E\\F$. Neste caso $\\gal\\K\\F\\cong \\gal\\E\\F\/\\gal\\E\\K$.<\/li>\n
  4. O mapa $\\mbox{Gal}$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o do conjunto de corpos $\\K$ tais que $\\F\\subseteq\\K\\subseteq\\E$ para o conjunto de subgrupos de $\\gal\\E\\F$. Esta bije\u00e7\u00e3o preserva normalidade (de subgrupos e extens\u00f5es) e reverte inclus\u00e3o no sentido que $\\K_1\\subseteq \\K_2$ se e somente se $\\gal\\E{\\K_1}\\supseteq\\gal\\E{\\K_2}$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Infelizmente, a demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema n\u00e3o cabe no calend\u00e1rio do semestre, mas vamos fazer dois exemplos para ilustrar a correspond\u00eancia.<\/p>\n

    Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $\\E$ o corpo de decomposi\u00e7\u00e3o do polin\u00f4mio $x^3-2\\in\\Q[x]$ e considere a extens\u00e3o $\\E:\\Q$. Esta extens\u00e3o \u00e9 normal. As ra\u00edzes do polin\u00f4mio s\u00e3o $\\sqrt[3]2$, $\\xi\\sqrt[3]2$ e $\\xi^2\\sqrt[3]2$ onde $\\xi=\\exp(2\\pi i\/3)$ \u00e9 uma terceira ra\u00edz da unidade. Como $\\E$ \u00e9 gerado por estas ra\u00edzes sobre $\\Q$, temos que
    \n\\[
    \n\\E=\\Q(\\sqrt[3]2, \\xi\\sqrt[3]2,\\xi^2\\sqrt[3]2)=\\Q(\\sqrt[3]2, \\xi).
    \n\\]
    \nAl\u00e9m disso, $m_{\\sqrt[3]2}(x)=x^3-2$ e $m_{\\xi}(x)=x^2+x+1$ e temos que
    \n\\[
    \n\\dim_\\Q\\E=\\dim_\\Q\\Q(\\sqrt[3]2)\\cdot\\dim_{\\Q(\\sqrt[3]2)}\\E=3\\cdot 2=6.
    \n\\]
    \nPor um teorema que provamos na aula anterior, segue que $|\\gal\\E\\F|=6$.
    \nSe $\\varphi\\in\\gal\\E\\Q$, ent\u00e3o $\\varphi$ est\u00e1 determinado pelas imagens $\\varphi(\\sqrt[3]2)$ e $\\varphi(\\xi)$. Note que $\\sqrt[3]2$ e $\\xi$ s\u00e3o ra\u00edzes dos polin\u00f4mios irredut\u00edveis $x^3-2$ e $x^2+x+1$ (respetivamente), ent\u00e3o\u00a0$\\varphi(\\sqrt[3]2)$ e $\\varphi(\\xi)$ precisam ser ra\u00edzes do\u00a0 mesmo polin\u00f4mio. Temos ent\u00e3o que
    \n\\[
    \n\\varphi(\\sqrt[3]2)\\in\\{\\sqrt[3]2,\\xi\\sqrt[3]2,\\xi^2\\sqrt[3]2\\}\\quad\\mbox{e}\\quad \\varphi(\\xi)\\in\\{\\xi,\\xi^2\\}.
    \n\\]
    \nIsso d\u00e1 seis possibilidades para o automorfismo $\\varphi$ e como j\u00e1 deduzimos que $|\\gal\\E\\Q|=6$, todas destas possibilidades precisam resultar em um elemento de $\\gal\\E\\F$. Na verdade, todo elemento de $\\gal\\E\\F$ induz uma permuta\u00e7\u00e3o do conjunto $R=\\{\\sqrt[3]2, \\xi\\sqrt[3]2,\\xi^2\\sqrt[3]2\\}$ das ra\u00edzes do polin\u00f4mio $x^3-2$ e conv\u00eam considerar $\\gal\\E\\Q$ como um grupo de permuta\u00e7\u00f5es de $R$. Como $|R|=3$, toda permuta\u00e7\u00e3o das tr\u00eas ra\u00edzes resulta em um elemento de $\\gal\\E\\F$. Em particular $\\gal\\E\\F\\cong\\mbox{Sym}\\,R\\cong S_3$.<\/p>\n

    Na seguinte tabela, n\u00f3s apresentamos explicitamente a correspond\u00eancia entre os subgrupos de $\\mbox{Sym}\\,R$ e os subcorpos de $\\E$.<\/p>\n\n\n\n\n\t\n\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t
    subgrupo<\/th>subcorpo<\/th>normal?<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
    $\\{1\\}$<\/td>$\\E=\\Q(\\xi,\\sqrt[3]2)$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle(\\sqrt[3]2,\\xi\\sqrt[3]2)\\rangle$<\/td>$\\Q(\\xi^2\\sqrt[3]2)$<\/td>n\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle(\\sqrt[3]2,\\xi^2\\sqrt[3]2)\\rangle$<\/td>$\\Q(\\xi\\sqrt[3]2)$<\/td>n\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle(\\xi\\sqrt[3]2,\\xi^2\\sqrt[3]2)\\rangle$<\/td>$\\Q(\\sqrt[3]2)$<\/td>n\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle(\\sqrt[3]2,\\xi\\sqrt[3]2,\\xi^2\\sqrt[3]2)\\rangle$<\/td>$\\Q(\\xi)$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n
    $S_3$<\/td>$\\Q$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n

    Exemplo.\u00a0<\/strong>Considere o corpo de decomposi\u00e7\u00e3o $\\E$ do polin\u00f4mio $x^4-2$ sobre $\\Q$. Similarmente ao exemplo anterior, temos que
    \n\\[
    \n\\E=\\Q(\\sqrt[4]2,i)
    \n\\]
    \ne
    \n\\[
    \n\\dim_\\Q\\E=\\dim_\\Q\\Q(\\sqrt[4]2)\\cdot\\dim_{\\Q(\\sqrt[4]2)}\\E=4\\cdot 2=8
    \n\\]
    \nque implica que $|\\gal\\E\\Q|=8$. Al\u00e9m disso, um elemento $\\varphi\\in\\gal\\E\\Q$ \u00e9 determinado pelas imagens
    \n\\[
    \n\\varphi(\\sqrt[4]2)\\in\\{\\sqrt[4]2,-\\sqrt[4]2,i\\sqrt[4]2,-i\\sqrt[4]2\\}\\quad\\mbox{e}\\quad
    \n\\varphi(i)\\in\\{i,-i\\}.
    \n\\]
    \nH\u00e1 oito op\u00e7\u00f5es na linha anterior, e o fato que $|\\gal\\E\\Q|=8$ implica que todas destas op\u00e7\u00f5es resultam em um automorfismo de $\\gal\\E\\Q$. Como no exemplo anterior, conv\u00eam considerar os elementos de\u00a0$\\gal\\E\\Q$ como permuta\u00e7\u00f5es do conjunto $R=\\{\\sqrt[4]2,-\\sqrt[4]2,i\\sqrt[4]2,-i\\sqrt[4]2\\}$ das ra\u00edzes de $x^4-2$. Os automorfismos
    \n\\[
    \n\\varphi_1:\\sqrt[4]2\\mapsto\u00a0i\\sqrt[4]2,\\\u00a0 i\\mapsto i\\quad\\mbox{e}\\quad\\varphi_2:\\sqrt[4]2\\mapsto\u00a0\\sqrt[4]2,\\ i\\mapsto -i
    \n\\]
    \ncorrespondem \u00e0s permuta\u00e7\u00f5es
    \n\\[
    \na=(\\sqrt[4]2,i\\sqrt[4]2,-\\sqrt[4]2,-i\\sqrt[4]2)\\quad\\mbox{e}\\quad b=(i\\sqrt[4]2,-i\\sqrt[4]2)
    \n\\]
    \ne estas duas permuta\u00e7\u00f5es geram um subgrupo de $S_4$ isomorfo a $D_4$.<\/p>\n

    Na seguinte tabela, n\u00f3s apresentamos explicitamente a correspond\u00eancia entre os subgrupos de $\\mbox{Sym}\\,R$ e os subcorpos de $\\E$.<\/p>\n\n\n\n\n\t\n\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t
    subgrupo de $\\gal\\E\\Q$<\/th>subcorpo de $\\E$<\/th>normal?<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
    $\\{1\\}$<\/td>$\\E=\\Q(\\sqrt[4]2,i)$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle b\\rangle$<\/td>$\\Q(\\sqrt[4]2)$<\/td>n\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle a^2b\\rangle$<\/td>$\\Q(i\\sqrt[4]2)$<\/td>n\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle a^2\\rangle$<\/td>$\\Q(\\sqrt 2,i)$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle ab\\rangle$<\/td>$\\Q((1+i)\\sqrt[4]2)$<\/td>n\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle a^3b\\rangle$<\/td>$\\Q((1-i)\\sqrt[4]2)$<\/td>n\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle a^2,b\\rangle$<\/td>$\\Q(\\sqrt 2)$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle a\\rangle$<\/td>$\\Q(i)$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n
    $\\langle a^2,ab\\rangle$<\/td>$\\Q(i\\sqrt 2)$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n
    $D_4$<\/td>$\\Q$<\/td>sim<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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