{"id":1035,"date":"2020-10-17T16:52:23","date_gmt":"2020-10-17T19:52:23","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=1035"},"modified":"2020-10-17T17:08:13","modified_gmt":"2020-10-17T20:08:13","slug":"exercicios-12","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/exercicios-12\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcios 12"},"content":{"rendered":"
$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}\\newcommand{\\E}{\\mathbb E}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}$1. Seja $p$ um primo e $d\\geq 1$. Mostre que $\\F_{p^d}$ tem um subcorpo de $p^e$ elementos se e somente se $e\\mid d$. Mostre que neste caso o subcorpo \u00e9 \u00fanico. Fa\u00e7a uma lista dos subcorpos de $\\F_{p^{12}}$.<\/p>\n
2. Seja $p$ um primo e $d\\geq 1$. Mostre que o polin\u00f4mio $x^{p^d}-x$ n\u00e3o tem ra\u00edzes m\u00faltiplas em nenhuma extens\u00e3o de $\\F_p$.<\/p>\n
3. Ache o corpo de decomposi\u00e7\u00e3o dos seguintes polin\u00f4mios sobre $\\Q$ e escreva-os como produtos de polin\u00f4mios lineares:<\/p>\n
4. Seja $\\K:\\F$ uma extens\u00e3o de corpos e sejam $f(x),g(x)\\in\\F[x]$ dois polin\u00f4mios primos entre si. Mostre que $f(x)$ e $g(x)$ s\u00e3o primos entre si considerando-os como elementos de $\\K[x]$.<\/p>\n
5. Escreva $x^3+2x+1\\in\\F_3[x]$ como um produto de fatores lineares sobre alguma extens\u00e3o de $\\F_3$.<\/p>\n
6. Seja $\\F$ um corpo e $a\\in\\F^*$. Mostre que o corpo de decomposi\u00e7\u00e3o de $x^n-a\\in\\F[x]$ cont\u00e9m todos as $n$-\u00e9simas ra\u00edzes da unidade.<\/p>\n
7. Ache o corpo de decomposi\u00e7\u00e3o do polin\u00f4mio $(x^2+x+2)(x^2+2x+2)\\in\\F_3[x]$ e decomponha este polin\u00f4mio como produto de fatores lineares sobre seu corpo de decomposi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
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