$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}\\newcommand{\\E}{\\mathbb E}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}$Come\u00e7amos por um lema simples.<\/p>\n
Lema.\u00a0<\/strong>Seja $\\F$ um corpo e $f(x)\\in\\F[x]$ com grau maior ou igual a $1$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>1.\u00a0Escreva $f(x)=g_1(x)\\cdots g_m(x)$ onde os $g_i(x)\\in\\F[x]$ s\u00e3o polin\u00f4mios irredut\u00edveis. Defina $\\E=\\F[x]\/(g_1(x))$\u00a0 e observe que $\\alpha=x+(g_1(x))\\in\\E$ \u00e9 uma raiz de $g_1(x)$ e portanto $\\alpha$ \u00e9 raiz de $f(x)$.<\/p>\n 2. Provamos por indu\u00e7\u00e3o no grau de $f(x)$. Se $f(x)$ tem grau 1, ent\u00e3o podemos tomar $\\K=\\F$\u00a0 e a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para polin\u00f4mios de grau menor que $k$ e seja $f(x)\\in\\F[x]$ um polin\u00f4mio de grau $k$. Pela afirma\u00e7\u00e3o 1., existe uma extens\u00e3o finita $\\E$ tal que $f(x)$ possui raiz em $\\E$ e assim $f(x)=(x-\\alpha_1)g(x)$ onde $\\alpha\\in\\E$ e $g(x)\\in\\E[x]$ \u00e9 um polin\u00f4mio de grau $k-1$. Pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, existe uma extens\u00e3o finita $\\K$ de $\\E$ tal que Seja $\\F$ um corpo e seja $f(x)\\in\\F[x]$ um polin\u00f4mio com grau maior ou iguai a um. Seja $\\K$ uma extens\u00e3o (finita) de $\\F$ tal que O corpo de decomposi\u00e7\u00e3o de um polin\u00f4mio n\u00e3o \u00e9 \u00fanico, pois depende do corpo $\\K$. No entanto, o seguinte resultado implica que ele \u00e9 determinado unicamente a menos de isomorfismos.<\/p>\n Nos seguintes resultados vamos usar a seguinte observa\u00e7\u00e3o. Se $\\varphi:\\F_1\\to\\F_2$ \u00e9 um isomorfismo de corpos, ent\u00e3o $\\varphi$ induz um isomorfismo $\\F_1[x]\\to\\F_2[x]$ dos an\u00e9is de polin\u00f4mios Lema.\u00a0<\/strong>Sejam $\\F_1$ e $\\F_2$ corpos e assuma que $\\varphi:\\F_1\\to\\F_2$ \u00e9 um isomorfismo. Seja\u00a0 $f(x)\\in\\F_1[x]$ um polin\u00f4mio irredut\u00edvel e considere a imagem $\\varphi(f(x))\\in\\F_2[x]$ (que tamb\u00e9m \u00e9 irredut\u00edvel). Suponha que $\\alpha$ e $\\beta$ s\u00e3o ra\u00edzes de $f(x)$ e $\\varphi(f(x))$ em alguma extens\u00e3o de $\\F_1$ e $\\F_2$, respetivamente. Ent\u00e3o existe um ismorfismo $\\psi:\\F_1(\\alpha)\\to\\F_2(\\beta)$ tal que $\\psi|_{\\F_1}=\\varphi$ e $\\psi(\\alpha)=\\beta$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Adaptar a demonstra\u00e7\u00e3o do lema similar na aula anterior.<\/p>\n Lema.<\/strong> Sejam $\\F_1$ e $\\F_2$ corpos e seja $\\varphi:\\F_1\\to\\F_2$ um isomorfismo. Seja $f(x)\\in\\F_1[x]$ n\u00e3o constante e assuma que $\\K_1$ e $\\K_2$ s\u00e3o corpos de decomposi\u00e7\u00e3o dos polin\u00f4mios $f(x)$ e $\\varphi(f(x))$, respetivamente. Ent\u00e3o existe um isomorfismo $\\psi: \\K_1\\to \\K_2$ tal que $\\psi|_{\\F_1}=\\varphi$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Por indu\u00e7\u00e3o no grau de $f(x)$. Se $\\mbox{grau}\\,f(x)=1$, ent\u00e3o $\\K_1=\\F_1$ e $\\K_2=\\F_2$ e podemos tomar $\\psi=\\varphi$. Assuma que o lema \u00e9 v\u00e1lido para polin\u00f4mios de grau menor que $k\\geq 2$ e seja $f(x)\\in\\F_1[x]$ um polin\u00f4mio de grau $k$. Seja $p(x)\\in\\F_1[x]$ um\u00a0 fator\u00a0 irredut\u00edvel de $f(x)$. Ent\u00e3o $\\varphi(p(x))\\in\\F_2[x]$ \u00e9 um fator irredut\u00edvel de $\\varphi(f(x))$ e defina os corpos $\\E_1=\\F_1[x]\/(p(x))$ e $\\E_2=\\F_2[x]\/(\\varphi(p(x))$. Existem $\\alpha\\in\\E_1$ e $\\beta\\in\\E_2$ tais que $m_\\alpha(x)=p(x)$ e $m_{\\beta}(x)=\\varphi(p(x))$ e o lema anterior implica que existe um isomorfismo $\\vartheta:\\F_1(\\alpha_1)\\to\\F_2(\\alpha_2)$ tal que\u00a0 $\\vartheta|_{\\F_2}=\\varphi$ e $\\vartheta(\\alpha)=\\beta$. Escreva $f(x)=(x-\\alpha)f_1(x)$ e Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Sejam $\\F$ um corpo, $f(x)\\in\\F[x]$ um polin\u00f4mio n\u00e3o constante, e sejam $\\K_1$ e $\\K_2$ corpos de decomposi\u00e7\u00e3o de $f(x)$. Ent\u00e3o existe $\\varphi:\\K_1\\to \\K_2$ isomorfismo tal que $\\varphi(\\alpha)=\\alpha$ para todo $\\alpha\\in\\F$.<\/p>\n Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Seja $p$ um primo e $d\\geq 1$. Mostre que $x^{p^d}-x\\in\\F_p[x]$ n\u00e3o tem ra\u00edzes m\u00faltiplas em nenhuma extens\u00e3o de $\\F_p$.<\/p>\n Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Seja $\\F$ um corpo de carater\u00edstica $p$. Mostre que Teorema (Corpos finitos).<\/strong>\u00a0As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Como $\\F$ \u00e9 finito, a sua carater\u00edstica \u00e9 um primo $p$ e tem-se que $\\F$ \u00e9 uma extens\u00e3o de $\\F_p$. Tomando $d=\\dim_{\\F_p}\\F$, temos que $|\\F|=p^d$.<\/p>\n 2. Ponha $q=p^d$, seja $\\K$ o corpo de decomposi\u00e7\u00e3o do polin\u00f4mio $g(x)=x^{q}-x$ e seja $\\F$ o conjunto de ra\u00edzes de\u00a0 $g(x)$ em $\\K$. Note que se $\\alpha,\\beta\\in\\F$, ent\u00e3o $\\alpha^q=\\alpha$ e $\\beta^q=\\beta$ e temos que Se $\\E$ \u00e9 um corpo arbitr\u00e1rio de $q=p^d$ elementos, ent\u00e3o $\\E^{*}=\\E\\setminus\\{0\\}$ \u00e9 um grupo de $q-1$ elementos, e o Teorema de Lagrange implica que $x^q=x$ para todo $x\\in\\E^*$. Mas esta equa\u00e7\u00e3o vale para $0\\in\\E$ tamb\u00e9m. Segue que Se $q=p^d$ com algum primo $p$, ent\u00e3o existe (a menos de isomorfismo) um \u00fanico corpo de cardinalidade $q$ e este corpo \u00e9 denotado por $\\F_q$.<\/p>\n O seguinte teorema segue diretamente de um resultado que provamos quando estudamos grupos c\u00edclicos.<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Se $\\F$ \u00e9 um corpo finito, ent\u00e3o $\\F^*$ \u00e9 um grupo c\u00edclico.<\/p>\n Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $\\E:\\F$ uma extens\u00e3o de corpos finitos. Ent\u00e3o $\\E=\\F(\\alpha)$ com algum $\\alpha\\in\\E$. Em particular, existe um polin\u00f4mio irredut\u00edvel $f(x)\\in\\F[x]$ tal que $\\E\\cong \\F[x]\/(f(x))$. Em particular se $\\E$ \u00e9 um corpo de $p^d$ elementos, ent\u00e3o $\\E\\cong \\F_p[x]\/(f(x))$ onde $f(x)\\in\\F_p[x]$ \u00e9 um polin\u00f4mio irredut\u00edvel de grau $d$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>O grupo $\\E^*$ \u00e9 c\u00edclico e seja $\\alpha$ um gerador de $\\E^*$. Ent\u00e3o $\\F(\\alpha)=\\E$. Tomando $f(x)=m_\\alpha(x)\\in\\F[x]$, temos que $\\E=\\F(\\alpha)\\cong \\F[x]\/(f(x))$.<\/p>\n Uma consequ\u00eancia particular do corol\u00e1rio anterior \u00e9 que para todo $p$ primo e para todo $d$ natural, existe um polin\u00f4mio irredut\u00edvel $f(x)\\in\\F_p[x]$ de grau $d$. O corpo $\\F_{p^d}$ pode ser constru\u00eddo como $\\F_p[x]\/(f(x))$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}\\newcommand{\\E}{\\mathbb E}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}$Come\u00e7amos por um lema simples. Lema.\u00a0Seja $\\F$ um corpo e $f(x)\\in\\F[x]$ com grau maior ou igual a $1$. Existe uma extens\u00e3o finita $\\E:\\F$\u00a0tal que $f(x)$ possui raiz em $\\E$. Existe uma extens\u00e3o $\\K:\\F$\u00a0 finita tal que $f(x)$ pode ser escrito na forma \\[ f(x)=\\alpha_0(x-\\alpha_1)\\cdots(x-\\alpha_m). \\] Demonstra\u00e7\u00e3o. 1.\u00a0Escreva $f(x)=g_1(x)\\cdots g_m(x)$ onde os $g_i(x)\\in\\F[x]$ … Continue reading Corpos de decomposi\u00e7\u00e3o e corpos finitos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1020"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1020"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1020\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1037,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1020\/revisions\/1037"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1020"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\n
\n\\[
\nf(x)=\\alpha_0(x-\\alpha_1)\\cdots(x-\\alpha_m).
\n\\]<\/li>\n<\/ol>\n
\n\\[
\ng(x)=\\alpha_0(x-\\alpha_2)\\cdots(x-\\alpha_k)
\n\\]
\ncom $\\alpha_0,\\alpha_2,\\ldots,\\alpha_k\\in\\K$. Ora, escrevemos
\n\\[
\nf(x)=(x-\\alpha_1)g(x)=\\alpha_0(x-\\alpha_1)(x-\\alpha_2)\\cdots (x-\\alpha_k).
\n\\]
\nComo as extens\u00f5es $\\K:\\E$ e $\\E:\\F$ s\u00e3o finitas, a extens\u00e3o $\\K:\\F$ tamb\u00e9m \u00e9 finita.<\/p>\n
\n\\[
\nf(x)=\\alpha_0(x-\\alpha_1)\\cdots(x-\\alpha_k)
\n\\]
\ne considere $\\E=\\F(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k)$. O corpo $\\E$ \u00e9 chamado de um corpo de decomposi\u00e7\u00e3o<\/em> para o polin\u00f4mio $f(x)$. Note que $\\E$ \u00e9 o menor subcorpo de $\\K$ que cont\u00e9m todas as ra\u00edzes de $f(x)$; ou seja, ele \u00e9 o menor subcorpo de $\\K$ sobre o qual $f(x)$ se decomp\u00f5e para produto de polin\u00f4mios lineares (de grau um).<\/p>\n
\n\\[
\n\\alpha_0+\\alpha_1x+\\cdots+\\alpha_kx^k\\mapsto\u00a0\\varphi(\\alpha_0)+\\varphi(\\alpha_1)x+\\cdots+\\varphi(\\alpha_k)x^k.
\n\\]
\nArriscando confus\u00e3o, o isomorfismo $\\F_1[x]\\to\\F_2[x]$ ser\u00e1 denotado tamb\u00e9m por $\\varphi$.<\/p>\n
\n\\[
\n\\varphi(f(x))=\\vartheta(f(x))=\\vartheta((x-\\alpha)f_1(x))=(x-\\beta)\\vartheta(f_1(x)).
\n\\]
\nEscolha corpos de decomposi\u00e7\u00e3o $\\K_1$ e $\\K_2$ para os polin\u00f4mios $f_1(x)$ e $\\vartheta(f_1(x))$ sobre $\\F_1(\\alpha)$ e $\\F_2(\\beta)$, respetivamente. Isso implica que $\\K_1$ e $\\K_2$ s\u00e3o corpos de decomposi\u00e7\u00e3o para os polin\u00f4mios $f(x)$ e $\\vartheta(f(x))$ sobre $\\F_1$ e $\\F_2$, respetivamente. Pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, existe um isomorfismo $\\psi:\\K_1\\to\\K_2$ tal que $\\psi|_{\\F_1(\\alpha)}=\\vartheta$, e portanto $\\psi|_{\\F_1}=\\vartheta|_{\\F_1}=\\varphi$.<\/p>\n
\n\\[
\n(x+y)^{p^d}=x^{p^d}+y^{p^d}
\n\\]
\nvale para todo $x,y\\in\\F$ e $d\\geq 0$.<\/p>\n\n
\n\\[
\n(\\alpha\\pm\\beta)^q=(\\alpha^q\\pm\\beta)^{p^d}=\\alpha\\pm\\beta \\quad\\mbox{e}\\quad(\\alpha\/\\beta)^q=\\alpha\/\\beta^q=\\alpha\/\\beta.
\n\\]
\nClaramente, $0\\in\\F$ e $1\\in\\F$. Portanto $\\F$ \u00e9 um corpo e como $\\K$ foi corpo de decomposi\u00e7\u00e3o, segue que\u00a0 $\\F=\\K$. Al\u00e9m disso, como, pelo exerc\u00edcio anterior, $g(x)$ n\u00e3o possui ra\u00edzes m\u00faltiplas em $\\K$, temos que $|\\F|=q=p^d$ e $\\F$ \u00e9 um corpo de ordem desejada.<\/p>\n
\n\\[
\nx^q-x=\\prod_{\\alpha\\in\\E}(x-\\alpha)
\n\\]
\ne portanto $\\E$ \u00e9 um corpo de decomposi\u00e7\u00e3o de $x^q-x$. Em particular $\\E$ \u00e9 isomorfo ao corpo $\\F$ no par\u00e1grafo anterior e assim verificamos tamb\u00e9m a afirma\u00e7\u00e3o 3.<\/p>\n