Matrizes
Apostilas
2025-01-01
Definição de uma Matriz
Definition 1 Uma matriz \(A\), \(m \times n\) (\(m\) por \(n\)), é uma tabela de \(m \cdot n\) números dispostos em \(m\) linhas e \(n\) colunas:
\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & & \ldots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
A \(i\)-ésima linha de \(A\) é \(\begin{bmatrix}
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in}
\end{bmatrix}\) A \(j\)-ésima coluna de \(A\) é \(\begin{bmatrix}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}
\end{bmatrix}\).
Nós também usamos a notação \(A = \left(a_{ij}\right)_{m \times n}\). Aqui, \(a_{ij}\) ou \([A]_{ij}\) é o elemento ou entrada na posição \((i, j)\) da matriz \(A\).
Exemplos de Matrizes
Considere as seguintes matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
1/2 & 2/3 \\
3 & 4/5
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
0 & 3
\end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 \\
2 & 4 & -2
\end{bmatrix},
\quad D = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}, \quad
E = \begin{bmatrix}
4 \\
5 \\
6
\end{bmatrix}.
\]
- As matrizes \(A\) e \(B\) são \(2 \times 2\) (2 linhas e 2 colunas, matriz quadrada).
- A matriz \(C\) é \(2 \times 3\) (2 linhas e 3 colunas).
- A matriz \(D\) é \(1 \times 3\) (1 linha e 3 colunas, matriz linha, vetor linha).
- A matriz \(E\) é \(3 \times 1\) (3 linhas e 1 coluna, matriz coluna, vetor coluna).
Duas matrizes \(A=(a_{ij})\) a \(B=(b_{ij})\) são iguais, se elas
- têm o mesmo tamanho e
- \(a_{ij}=b_{ij}\) para todo \(i,j\) (têm as mesmas entradas)
Soma de Matrizes
A soma de duas matrizes do mesmo tamanho, \(A = \left(a_{ij}\right)_{m \times n}\) e \(B = \left(b_{ij}\right)_{m \times n}\), é definida como:
\[
C = A + B\quad \mbox{onde}\quad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.
\]
Exemplo
Considere as matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 \\
3 & 4 & 0
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
-2 & 1 & 5 \\
0 & 3 & -4
\end{bmatrix}.
\]
A soma de \(A\) e \(B\) é:
\[
C = A + B = \begin{bmatrix}
1 + (-2) & 2 + 1 & -3 + 5 \\
3 + 0 & 4 + 3 & 0 + (-4)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-1 & 3 & 2 \\
3 & 7 & -4
\end{bmatrix}.
\]
Matriz Nula
A matriz nula (matriz zero) de tamanho \(m \times n\), denotada por \(0_{m\times n}\) (ou simplesmente \(0\) quando o tamanho é claro), é a matriz em que todas as entradas são zero:
\[
0_{2\times 3} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]
Para qualquer matriz \(A\) de tamanho \(m \times n\), vale \(A + 0_{m\times n} = A\).
Exemplo
Se \[
A = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 3 \\
0 & 4 & -1
\end{bmatrix}, \quad 0 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\] então \[
A + 0 = \begin{bmatrix}
1+0 & -2+0 & 3+0 \\
0+0 & 4+0 & -1+0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 3 \\
0 & 4 & -1
\end{bmatrix} = A.
\]
Múltiplo Escalar de uma Matriz
O múltiplo escalar de uma matriz \(A = \left(a_{ij}\right)_{m \times n}\) por um escalar \(\alpha\) é definido como:
\[
B = \alpha A\quad \mbox{onde}\quad
b_{ij} = \alpha a_{ij}.
\]
Exemplo
Considere a matriz:
\[
A = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
0 & 3 \\
5 & -4
\end{bmatrix}.
\]
O múltiplo de \(A\) pelo escalar \(-3\) é:
\[
-3A = \begin{bmatrix}
(-3)\cdot(-2) & (-3)\cdot 1 \\
(-3)\cdot 0 & (-3)\cdot 3 \\
(-3)\cdot 5 & (-3)\cdot (-4)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
6 & -3 \\
0 & -9 \\
-15 & 12
\end{bmatrix}.
\]
Simétrica de uma Matriz
A simétrica/negativa de uma matriz \(A\) é definida por \(-A = (-1)A\). Em particular, se \(A = (a_{ij})\), então \[
-A = (-a_{ij}).
\]
Exemplo
Considere \[
A = \begin{bmatrix}
2 & -3 \\
1 & 4
\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad
-A = (-1)A = \begin{bmatrix}
-2 & 3 \\
-1 & -4
\end{bmatrix}.
\]
Além disso, vale a propriedade \(A + (-A) = 0\). No exemplo acima, \[
A + (-A) = \begin{bmatrix}
2+(-2) & -3+3 \\
1+(-1) & 4+(-4)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix} = 0_{2\times 2}.
\]
Transposta de uma Matriz
A transposta de uma matriz \(A = \left(a_{ij}\right)_{m \times n}\) é a matriz \(A^T = \left(a_{ji}\right)_{n \times m}\) obtida trocando as linhas por colunas.
Exemplo
Considere a matriz:
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}.
\]
A transposta de \(A\) é:
\[
A^T = \begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{bmatrix}.
\]
Multiplicação entre Matrizes
O produto de duas matrizes \(A = \left(a_{ij}\right)_{m \times p}\) e \(B = \left(b_{ij}\right)_{p \times n}\) é definido como:
\[
C = AB
\]
onde a matriz resultante \(C = \left(c_{ij}\right)_{m \times n}\) tem entradas dadas por:
\[
c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}.
\]
\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\color{red}{a_{i1}} & \color{red}{a_{i2}} & \cdots & \color{red}{a_{ip}}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mp}
\end{bmatrix},\quad
B = \begin{bmatrix}
b_{11} & \cdots & \color{blue}{b_{1j}} & \cdots & b_{1n}\\
b_{21} & \cdots & \color{blue}{b_{2j}} & \cdots & b_{2n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{p1} & \cdots & \color{blue}{b_{pj}} & \cdots & b_{pn}
\end{bmatrix},\quad c_{ij} = \sum\limits_{k=1}^{p} \color{red}{a_{ik}}\,\color{blue}{b_{kj}}
\]
Condições para Multiplicação de Matrizes
- O número de colunas de \(A\) deve ser igual ao número de linhas de \(B\).
- A matriz resultante \(C\) terá dimensões \(m \times n\).
Exemplo: Produto de Matrizes
Considere as matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}_{2\times 3}, \quad
B = \begin{bmatrix}
7 & {8} \\
9 & {10} \\
11 & {12}
\end{bmatrix}_{3\times 2}.
\] O produto vai ser uma matriz \(2\times 2\): \[
C=\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2}
\]
Considere as matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
\color{blue}{7} & 8 \\
\color{blue}{9} & 10 \\
\color{blue}{11} & 12
\end{bmatrix}.
\]
Para calcular \(c_{11}\), multiplicamos a primeira linha de \(A\) pela primeira coluna de \(B\): \[
c_{11} = \color{red}{1}\cdot \color{blue}{7} + \color{red}{2}\cdot \color{blue}{9} + \color{red}{3}\cdot \color{blue}{11} = 7 + 18 + 33 = 58.
\] O produto vai ser uma matriz \(2\times 2\): \[
C=\begin{bmatrix} 58 & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{bmatrix}
\]
Considere as matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
7 & \color{blue}{8} \\
9 & \color{blue}{10} \\
11 & \color{blue}{12}
\end{bmatrix}.
\]
Para calcular \(c_{12}\), multiplicamos a primeira linha de \(A\) pela segunda coluna de \(B\): \[
c_{12} = \color{red}{1}\cdot \color{blue}{8} + \color{red}{2}\cdot \color{blue}{10} + \color{red}{3}\cdot \color{blue}{12} = 8 + 20 + 36 = 64.
\] O produto vai ser uma matriz \(2\times 2\): \[
C=\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ c_{21} & c_{22}\end{bmatrix}
\]
Considere as matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\color{red}{4} & \color{red}{5} & \color{red}{6}
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
\color{blue}{7} & 8 \\
\color{blue}{9} & 10 \\
\color{blue}{11} & 12
\end{bmatrix}.
\]
Para calcular \(c_{21}\), multiplicamos a segunda linha de \(A\) pela primeira coluna de \(B\): \[
c_{21} = \color{red}{4}\cdot \color{blue}{7} + \color{red}{5}\cdot \color{blue}{9} + \color{red}{6}\cdot \color{blue}{11} = 28 + 45 + 66 = 139.
\] O produto vai ser uma matriz \(2\times 2\): \[
C=\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & c_{22}\end{bmatrix}
\]
Considere as matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\color{red}{4} & \color{red}{5} & \color{red}{6}
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
7 & \color{blue}{8} \\
9 & \color{blue}{10} \\
11 & \color{blue}{12}
\end{bmatrix}.
\]
Para calcular \(c_{22}\), multiplicamos a segunda linha de \(A\) pela segunda coluna de \(B\): \[
c_{22} = \color{red}{4}\cdot \color{blue}{8} + \color{red}{5}\cdot \color{blue}{10} + \color{red}{6}\cdot \color{blue}{12} = 32 + 50 + 72 = 154.
\] O produto vai ser uma matriz \(2\times 2\): \[
C=\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}
\]
Matriz Identidade
A matriz identidade de ordem \(n\), denotada por \(I_n\) ou simplesmente por \(I\), é a matriz quadrada \(n \times n\) com \(1\) na diagonal principal e \(0\) fora dela.
Exemplo
\[
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
\]
Propriedade
Para qualquer matriz \(A\) \({m\times n}\), a matriz identidade satisfaz:
\[
I_m\,A = A \quad\text{e}\quad A\,I_n = A.
\]
Adição de Matrizes
- Propriedade Comutativa: \(A + B = B + A\)
- Propriedade Associativa: \((A + B) + C = A + (B + C)\)
- Identidade Aditiva: \(A + 0 = A\), onde \(0\) é a matriz zero.
- Inverso Aditivo: \(A + (-A) = 0\)
Multiplicação Escalar
- Propriedade Distributiva: \(\alpha(A + B) = \alpha A + \alpha B\)
- Propriedade Associativa: \((\alpha \beta)A = \alpha(\beta A)\)
- Identidade Multiplicativa: \(1 \cdot A = A\)
Multiplicação de Matrizes
- Propriedade Associativa: \((AB)C = A(BC)\)
- Propriedade Distributiva: \(A(B + C) = AB + AC\) e \((A + B)C = AC + BC\)
- Compatibilidade da Multiplicação Escalar: \(\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)\)
- Se \(A\) é matriz \(m\times n\), então \(I_mA=AI_n=A\)
- Não-Comutatividade: Em geral, \(AB \neq BA\)
Multiplicação Não Comutativa
Vamos ilustrar que, em geral, \(AB \neq BA\).
Considere \[
A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}.
\]
Calculando \(AB\) e \(BA\): \[
AB = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix},\qquad
BA = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}.
\]
Conclusão: \(AB = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} = BA\)
Transposta
- Dupla transposição: \((A^T)^T = A\).
- Transposição da soma (mesmas dimensões): \((A + B)^T = A^T + B^T\).
- Transposição do produto por escalar: \((\alpha A)^T = \alpha A^T\).
- Transposição do produto (dimensões compatíveis): \((AB)^T = B^T A^T\).
- Simetria: \(A\) é simétrica se \(A^T = A\) e antissimétrica se \(A^T = -A\).
Propriedade: transposta do produto
Para matrizes de tamanhos compatíveis, vale a identidade \[
(AB)^{T} = B^{T} A^{T}.
\]
Exemplo pequeno (matrizes \(2\times 2\)): \[
A = \begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 0\end{bmatrix},\quad
B = \begin{bmatrix}0 & 4\\ 5 & -1\end{bmatrix}.
\] Então \[
AB = \begin{bmatrix}
1\cdot 0 + 2\cdot 5 & 1\cdot 4 + 2\cdot(-1)\\
3\cdot 0 + 0\cdot 5 & 3\cdot 4 + 0\cdot(-1)
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}10 & 2\\ 0 & 12\end{bmatrix},\quad
(AB)^{T} = \begin{bmatrix}10 & 0\\ 2 & 12\end{bmatrix}.
\]
Por outro lado, \[
B^{T} = \begin{bmatrix}0 & 5\\ 4 & -1\end{bmatrix},\quad
A^{T} = \begin{bmatrix}1 & 3\\ 2 & 0\end{bmatrix},\quad
B^{T}A^{T} = \begin{bmatrix}
0\cdot 1 + 5\cdot 2 & 0\cdot 3 + 5\cdot 0\\
4\cdot 1 + (-1)\cdot 2 & 4\cdot 3 + (-1)\cdot 0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}10 & 0\\ 2 & 12\end{bmatrix}.
\]
Logo, \((AB)^{T} = B^{T}A^{T}\neq A^TB^T\).