Exercício 1 Considere as seguintes matrizes \[
\begin{gathered}
A=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 6 & 7\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}0 & 4 \\ 2 & -8\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}-6 & 9 & -7 \\ 7 & -3 & -2\end{bmatrix}, \\ D=\begin{bmatrix}-6 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\ -6 & 0 & 6\end{bmatrix}, \quad E=\begin{bmatrix}6 & 9 & -9 \\ -1 & 0 & -4 \\ -6 & 0 & -1\end{bmatrix}.
\end{gathered}
\] Se for possível calcule:
- \(A B-B A\),
- \(2 C-D\),
- \(\left(2 D^{T}-3 E^{T}\right)^{T}\),
- \(D^{2}-D E\).
Exercício 2 Conhecendo-se somente os produtos \(A B\) e \(A C\), como podemos calcular \(A(B+C), B^{T} A^{T}, C^{T} A^{T}\) e \((A B A) C\)?
Exercício 3 Considere as seguintes matrizes
\[
\begin{gathered}
A=\begin{bmatrix}
-3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & -1
\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
2 & 0 \\
0 & 3
\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix}, \quad D=\begin{bmatrix}
d_{1} & 0 & 0 \\
0 & d_{2} & 0 \\
0 & 0 & d_{3}
\end{bmatrix} \\
\quad E_{1}=\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}, \quad E_{2}=\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}, \quad E_{3}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\end{gathered}
\]
Verifique que:
- \(A B\) é diferente de \(B A\).
- \(A E_{j}\) é a \(j\)-ésima coluna de \(A\), para \(j=1,2,3\) e \(E_{i}^{T} B\) é a \(i\)-ésima linha de \(B\), para \(i=1,2,3\) .
- \(C D=\begin{bmatrix} d_{1} C_{1} & d_{2} C_{2} & d_{3} C_{3}\end{bmatrix}\), em que \(C_{1}=\begin{bmatrix}-2 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix}, C_{2}=\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\) e \(C_{3}=\begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\), sấo as colunas de \(C\).
- \(D C=\begin{bmatrix} d_{1} C_{1} \\ d_{2} C_{2} \\ d_{3} C_{3}\end{bmatrix}\), em que \(C_{1}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & -1\end{bmatrix}, C_{2}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1\end{bmatrix}\) e \(C_{3}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 1\end{bmatrix}\) são as linhas de \(C\).
- Escrevendo \(B\) em termos das suas colunas, \(B=\begin{bmatrix}B_{1} & B_{2}\end{bmatrix}\), em que \(B_{1}=\begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix}\) e \(B_{2}=\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 3\end{bmatrix}\), o produto \(A B\) pode ser escrito como \(A B=A\begin{bmatrix}B_{1} & B_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A B_{1} & A B_{2}\end{bmatrix}\).
- escrevendo \(A\) em termos das suas linhas, \(A_{1}=\begin{bmatrix}-3 & 2 & 1\end{bmatrix}\) e \(A_{2}=\begin{bmatrix}1 & 2 & -1\end{bmatrix}\), o produto \(A B\) pode ser escrito como \(A B=\begin{bmatrix}A_{1} \\ A_{2}\end{bmatrix} B=\begin{bmatrix}A_{1} B \\ A_{2} B\end{bmatrix}\).
Exercício 4 \[
A=\begin{bmatrix}
1 & -3 & 0 \\
0 & 4 & -2
\end{bmatrix} \quad \text { e } \quad X=\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\]
Verifique que \(x A_{1}+y A_{2}+z A_{3}=A X\), em que \(A_{j}\) é a \(j\)-ésima coluna de \(A\), para \(j=1,2,3\).
Exercício 5 Encontre um valor de \(x\) tal que \(A B^{T}=0\), em que
\[
A=\begin{bmatrix}
x & 4 & -2
\end{bmatrix}\quad \text {e}\quad B=\begin{bmatrix}
2 & -3 & 5
\end{bmatrix} .
\]
Exercício 6 Mostre que as matrizes \(A=\begin{bmatrix}1 & \frac{1}{y} \\ y & 1\end{bmatrix}\), em que \(y\) é uma número real não nulo, verificam a equação \(X^{2}=2 X\).
Exercício 7 Verifique que \(A^{3}=\overline{0}\), para
\[
A=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]
Exercício 8 Se \(A B=B A\) e \(p\) é um inteiro positivo, mostre que \((A B)^{p}=A^{p} B^{p}\). Explique porque precisa usar que \(AB=BA\).
Exercício 9 Sejam \(A, B\) e \(C\) matrizes \(n \times n\).
- Pode afirmar que \((A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}\)? E se \(A B=B A\)? Justifique.
- Pode afirmar que \((A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2}\)? E se \(A B=B A\)? Justifique.
- Pode afirmar que \((A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}\)? E se \(A B=B A\)? Justifique.
Exercício 10 Seja \[
A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\] Ache todos os valores \(a,b,c,d\in\R\) tais que \[
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\] e todos os valores \(e,f,g,h\) tais que \[
\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
Exercício 11 Seja \[
A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}.
\] Seja \(d=ac-bd\). Assumindo que \(d\neq 0\), verifique que \[
\frac 1d \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
Exercício 12
- Dê exemplo de matrizes \(A\) e \(B\) (pode ser \(2\times 2\)) não nulos tais que \(AB=0\).
- Verifique para seu exemplo se \(BA=0\). Decida se a seguinte afirmação é verdadeira para toda matriz \(A\) e \(B\) \(n\times n\): Se \(AB=0\) então \(BA=0\).
- Ache uma matriz \(A\) não nula tal que \(A^2=0\). (Dica: veja o Exercício 7.)
Exercício 13 Dizemos que uma matriz \(A, n \times n\), é simétrica se \(A^{T}=A\) e é anti-simétrica se \(A^{T}=-A\).
- Mostre que se \(A\) é simétrica, então \(a_{i j}=a_{j i}\), para \(i, j=1, \ldots n\) e que se \(A\) é anti-simétrica, então \(a_{i j}=-a_{j i}\), para \(i, j=1, \ldots n\). Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz antisimétrica são iguais a zero.
- Mostre que se \(A\) e \(B\) são simétricas, então \(A+B\) e \(\alpha A\) são simétricas, para todo escalar \(\alpha\).
- Mostre que se \(A\) e \(B\) são simétricas, então \(A B\) é simétrica se, e somente se, \(A B=B A\).
- Mostre que se \(A\) e \(B\) são anti-simétricas, então \(A+B\) e \(\alpha A\) são anti-simétricas, para todo escalar \(\alpha\).
- Mostre que para toda matriz \(A, n \times n, A+A^{T}\) é simétrica e \(A-A^{T}\) é anti-simétrica.
- Mostre que toda matriz quadrada \(A\) pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. (Sugestão: Observe o resultado da soma de \(A+A^{T}\) e \(\operatorname{com} A-A^{T}\).)
Exercício 14 Seja \(A\) uma matriz \(n \times n\). Mostre que se \(A A^{T}=\overline{0}\), então \(A=\overline{0}\). (Sugestão: Computa a soma das entradas na diagonal principal (ou seja, o traço) de \(AA^T\).) E se a matriz \(A\) for \(m \times n\), com \(m \neq n\)?